Типичное матричное кольцо - Generic matrix ring

В алгебра, а кольцо матриц общего положения своего рода универсальный матричное кольцо.

Определение

Обозначим через ${ displaystyle F_ {n}}$ универсальное матричное кольцо размера п с переменными ${ displaystyle X_ {1}, dots X_ {m}}$. Он характеризуется универсальным свойством: при заданном коммутативное кольцо р и п-к-п матрицы ${ displaystyle A_ {1}, dots, A_ {m}}$ над р, любое отображение ${ displaystyle X_ {i} mapsto A_ {i}}$ распространяется на кольцевой гомоморфизм (называется оценкой) ${ Displaystyle F_ {n} к M_ {n} (R)}$.

Явно, учитывая поле k, это подалгебра ${ displaystyle F_ {n}}$ матричного кольца ${ Displaystyle M_ {N} (к [(X_ {l}) _ {ij} середина 1 Leq l Leq m, 1 Leq i, j Leq n])}$ создано п-к-п матрицы ${ Displaystyle X_ {1}, точки, X_ {m}}$, куда ${ displaystyle (X_ {l}) _ {ij}}$ являются матричными элементами и коммутируют по определению. Например, если м = 1, тогда ${ displaystyle F_ {1}}$ это кольцо многочленов в одной переменной.

Например, центральный многочлен это элемент кольца ${ displaystyle F_ {n}}$ который будет отображаться в центральном элементе оценки. (Фактически, это в инвариантное кольцо ${ displaystyle к [(X_ {l}) _ {ij}] ^ { operatorname {GL} _ {n} (k)}}$ поскольку он центральный и инвариантный.^[1])

По определению, ${ displaystyle F_ {n}}$ это частное из бесплатное кольцо ${ Displaystyle к langle t_ {1}, точки, t_ {m} rangle}$ с ${ displaystyle t_ {i} mapsto X_ {i}}$ посредством идеальный состоящий из всех п которые исчезают одинаково на всех п-к-п матрицы над k.

Геометрическая перспектива

Универсальность означает, что любой гомоморфизм колец из ${ displaystyle k langle t_ {1}, dots, t_ {m} rangle}$ к матричному кольцу пропускается через ${ displaystyle F_ {n}}$. Это имеет следующий геометрический смысл. В алгебраическая геометрия, кольцо многочленов ${ Displaystyle к [т, точки, т_ {м}]}$ это координатное кольцо аффинного пространства ${ displaystyle k ^ {m}}$, и дать точку ${ displaystyle k ^ {m}}$ состоит в том, чтобы дать кольцевой гомоморфизм (оценку) ${ Displaystyle к [т, точки, т_ {м}] к к}$ (либо Гильберт nullstellensatz или теория схем ). Бесплатное кольцо ${ Displaystyle к langle t_ {1}, точки, t_ {m} rangle}$ играет роль координатного кольца аффинного пространства в некоммутативная алгебраическая геометрия (т.е. мы не требуем, чтобы свободные переменные коммутировали) и, таким образом, общее матричное кольцо размера п является координатным кольцом некоммутативного аффинного многообразия, точками которого являются спецификации колец матриц размера п (более конкретное обсуждение см. ниже.)

Максимальный спектр кольца матриц общего положения

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Июнь 2014 г.)

Для простоты предположим k является алгебраически замкнутый. Позволять А быть алгебра над k и разреши ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {n} (A)}$ обозначить набор из всех максимальные идеалы ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ в А такой, что ${ Displaystyle A / { mathfrak {m}} приблизительно M_ {n} (k)}$. Если А коммутативна, то ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {1} (A)}$ это максимальный спектр из А и ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {n} (A)}$ является пустой для любого ${ displaystyle n> 1}$.

Рекомендации

• Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF).
• Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (Пересмотренное изд. Алгебры, 2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag. ISBN  1-85233-667-6. Zbl  1006.00001.