Коалгебра Ли - Lie coalgebra

В математика а Коалгебра Ли дуальная структура к Алгебра Ли.

В конечных измерениях это двойственные объекты: двойное векторное пространство к Алгебра Ли естественно имеет структуру коалгебры Ли, и наоборот.

Определение

Позволять E быть векторное пространство через поле k оснащенный линейным отображением ${displaystyle dcolon E o Ewedge E}$ из E к внешний продукт из E с собой. Есть возможность продлить d исключительно для дифференцированный вывод (это означает, что для любого а, б ∈ E которые однородные элементы, ${displaystyle d (awedge b) = (da) клин b + (- 1) ^ {operatorname {deg} a} awedge (db)}$) степени 1 на внешняя алгебра из E:

${displaystyle dcolon igwedge ^ {ullet} Eightarrow igwedge ^ {ullet +1} E.}$

Тогда пара (E, d) называется коалгеброй Ли, если d² = 0, т.е. если градуированные компоненты внешняя алгебра с выводом ${displaystyle (igwedge ^ {*} E, d)}$сформировать коцепьевой комплекс:

${displaystyle E ightarrow ^ {!!!!!! d} Ewedge E ightarrow ^ {!!!!!! d} igwedge ^ {3} Eightarrow ^ {!!!!!! d} dots}$

Отношение к комплексу де Рама

Так же, как внешняя алгебра (и тензорная алгебра) векторные поля на многообразии образуют алгебру Ли (над базовым полем K), комплекс де Рама дифференциальных форм на многообразии образуют коалгебру Ли (над базовым полем K). Кроме того, существует соединение между векторными полями и дифференциальными формами.

Однако ситуация более тонкая: скобка Ли не линейна над алгеброй гладких функций ${displaystyle C ^ {infty} (M)}$ (ошибка Производная Ли ), и внешняя производная: ${displaystyle d (fg) = (df) g + f (dg) eq f (dg)}$ (это вывод, не линейный по функциям): они не тензоры. Они не линейны по функциям, но ведут себя согласованным образом, что не улавливается простым понятием алгебры Ли и коалгебры Ли.

Далее, в комплексе де Рама вывод определяется не только для ${displaystyle Omega ^ {1} o Omega ^ {2}}$, но также определяется для ${displaystyle C ^ {infty} (M) или Omega ^ {1} (M)}$.

Алгебра Ли на двойственном

Структура алгебры Ли на векторном пространстве - это отображение ${displaystyle [cdot, cdot] двоеточие {mathfrak {g}} imes {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}}}$ который кососимметричный, и удовлетворяет тождеству Якоби. Эквивалентно, карта ${displaystyle [cdot, cdot] двоеточие {mathfrak {g}} клин {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}}}$ что удовлетворяет Личность Якоби.

Двойственно структура коалгебры Ли на векторном пространстве E линейная карта ${displaystyle dcolon E o Eotimes E}$ который является антисимметричным (это означает, что он удовлетворяет ${displaystyle au circ d = -d}$, куда ${displaystyle au}$ канонический флип ${displaystyle Eotimes E o Eotimes E}$) и удовлетворяет так называемому состояние коцикла (также известный как со-Лейбница)

${displaystyle left (dotimes mathrm {id} ight) circ d = left (mathrm {id} otimes dight) circ d + left (mathrm {id} otimes au ight) circ left (dotimes mathrm {id} ight) circ d}$.

Из-за условия антисимметрии карта ${displaystyle dcolon E o Eotimes E}$ можно также записать в виде карты ${displaystyle dcolon E o Ewedge E}$.

Двойственная скобка Ли алгебры Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ дает отображение (кокоммутатор)

${displaystyle [cdot, cdot] ^ {*} двоеточие {mathfrak {g}} ^ {*} o ({mathfrak {g}} клин {mathfrak {g}}) ^ {*} cong {mathfrak {g}} ^ {*} клин {mathfrak {g}} ^ {*}}$

где изоморфизм ${displaystyle cong}$ выполняется в конечной размерности; двойственно для двойника Ли коумножение. В этом контексте тождество Якоби соответствует условию коцикла.

Более конкретно, пусть E коалгебра Ли над полем характеристики ни 2 ни 3. Двойное пространство E^* несет структуру скобки, определяемой

α ([Икс, у]) = dα (Икс∧у) для всех α ∈ E и Икс,у ∈ E^*.

Мы показываем, что это дает E^* со скобкой Ли. Достаточно проверить Личность Якоби. Для любого Икс, у, z ∈ E^* и α ∈ E,

${displaystyle {egin {align} d ^ {2} alpha (xwedge ywedge z) & = {frac {1} {3}} d ^ {2} alpha (xwedge ywedge z + ywedge zwedge x + zwedge xwedge y) & = {гидроразрыв {1} {3}} влево (dalpha ([x, y] wedge z) + dalpha ([y, z] wedge x) + dalpha ([z, x] wedge y) ight), конец {выровнен }}}$

где последний шаг следует из стандартного отождествления двойственного произведения клина с произведением клина двойников. Наконец, это дает

${displaystyle d ^ {2} альфа (xwedge ywedge z) = {frac {1} {3}} влево (альфа ([[x, y], z]) + альфа ([[y, z], x]) + альфа ([[z, x], y]) ight).}$

С d² = 0, то

${displaystyle альфа ([[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y]) = 0}$, для любого α, Икс, у, и z.

Таким образом, по изоморфизму двойной двойственности (точнее, по мономорфизму двойной двойственности, поскольку векторное пространство не обязательно должно быть конечномерным) тождество Якоби выполняется.

В частности, отметим, что это доказательство демонстрирует, что коцикл условие d² = 0 в некотором смысле двойственно тождеству Якоби.

Рекомендации

• Михаэлис, Вальтер (1980), "Коалгебры Ли", Успехи в математике, 38 (1): 1–54, Дои:10.1016/0001-8708(80)90056-0, ISSN  0001-8708, МИСТЕР  0594993