Классификация вещественных алгебр Ли малой размерности - Википедия - Classification of low-dimensional real Lie algebras

Этот математика -связанный список дает Мубаракзянова классификация вещественных алгебр Ли малой размерности, издано на русском языке в 1963 году.^[1] Дополняет статью о Алгебра Ли в районе абстрактная алгебра.

Английская версия и обзор этой классификации были опубликованы Popovych et al.^[2] в 2003 г.

Классификация Мубаракзянова

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {n}}$ быть ${ displaystyle n}$ -размерный Алгебра Ли над поле из действительные числа с генераторами ${ displaystyle e_ {1}, dots, e_ {n}}$ , ${ Displaystyle п leq 4}$ .^{[требуется разъяснение ]} Для каждой алгебры ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ мы приводим только ненулевые коммутаторы между базисными элементами.

Одномерный

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {1}}$ , абелевский.

Двумерный

${ displaystyle 2 { mathfrak {g}} _ {1}}$ , абелева ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ ;
${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {2.1}}$ , разрешимый ${ displaystyle { mathfrak {af}} (1) = {{ begin {pmatrix} a & b 0 & 0 end {pmatrix}} ,: , a, b in mathbb {R} }}$ ,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1}.}

Трехмерный

${ Displaystyle 3 { mathfrak {g}} _ {1}}$ , абелева, Бьянки I;
${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {2.1} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ , разложимая разрешимая, Бьянки III;
${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.1}}$ , Алгебра Гейзенберга – Вейля, нильпотентная, Бьянки II,

{ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1};}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.2}}$ , разрешима, Бьянки IV,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + e_ {2};}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.3}}$ , разрешима, Бьянки V,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {2};}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.4}}$ , разрешима, Бьянки VI, Алгебра Пуанкаре ${ Displaystyle { mathfrak {p}} (1,1)}$ когда ${ displaystyle alpha = -1}$ ,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = alpha e_ {2}, quad -1 leq alpha < 1, quad alpha neq 0;}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5}}$ , разрешима, Бьянки VII,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = beta e_ {1} -e_ {2}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + beta e_ { 2}, quad beta geq 0;}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.6}}$ , простой, Бьянки VIII, ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {R}),}$

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {3}, quad [e_ {1}, e_ {3 }] = 2e_ {2};}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.7}}$ , простой, Бьянки VIII, ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3),}$

{ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {3}, e_ {1}] = e_ {2}, quad [e_ {1}, e_ {2 }] = e_ {3}.}

Алгебра ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.3}}$ можно рассматривать как крайний случай ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5}}$ , когда ${ displaystyle beta rightarrow infty}$ , образуя сжатие алгебры Ли.

Над полем ${ Displaystyle { mathbb {C}}}$ алгебры ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5}}$ , ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.7}}$ изоморфны ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.4}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.6}}$ , соответственно.

Четырехмерный

${ displaystyle 4 { mathfrak {g}} _ {1}}$ , абелева;
${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {2.1} oplus 2 { mathfrak {g}} _ {1}}$ , разложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1};}

${ Displaystyle 2 { mathfrak {g}} _ {2.1}}$ , разложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1} quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {3};}

${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.1} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ , разложимый нильпотент,

{ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1};}

${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.2} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ , разложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + e_ {2};}

${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.3} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ , разложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {2};}

${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.4} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ , разложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = alpha e_ {2}, quad -1 leq alpha < 1, quad alpha neq 0;}

${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ , разложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = beta e_ {1} -e_ {2} quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1} + beta e_ {2 }, quad beta geq 0;}

${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.6} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ , неразрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {3}, quad [e_ {1}, e_ {3 }] = 2e_ {2};}

${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.7} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ , неразрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {2}] = e_ {3}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {3}, e_ {1 }] = e_ {2};}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.1}}$ , неразложимый нильпотент,

{ displaystyle [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {1}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2};}

${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.2}}$ , неразложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = beta e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {2}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + e_ {3}, quad beta neq 0;}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.3}}$ , неразложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = e_ {1}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2};}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.4}}$ , неразложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {1} + e_ {2}, quad [e_ {3 }, e_ {4}] = e_ {2} + e_ {3};}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.5}}$ , неразложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = alpha e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = beta e_ {2}, quad [e_ {3} , e_ {4}] = gamma e_ {3}, quad alpha beta gamma neq 0;}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.6}}$ , неразложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {4}] = alpha e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = beta e_ {2} -e_ {3}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + beta e_ {3}, quad alpha> 0;}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.7}}$ , неразложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {1}, e_ {4}] = 2e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4 }] = e_ {2}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + e_ {3};}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.8}}$ , неразложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {1}, e_ {4}] = (1+ beta) e_ {1}, quad [e_ { 2}, e_ {4}] = e_ {2}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = beta e_ {3}, quad -1 leq beta leq 1;}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.9}}$ , неразложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {1}, e_ {4}] = 2 alpha e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = alpha e_ {2} -e_ {3}, quad [e_ {3}, e_ {4}] = e_ {2} + alpha e_ {3}, quad alpha geq 0;}

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.10}}$ , неразложимая разрешимая,

{ displaystyle [e_ {1}, e_ {3}] = e_ {1}, quad [e_ {2}, e_ {3}] = e_ {2}, quad [e_ {1}, e_ {4 }] = - e_ {2}, quad [e_ {2}, e_ {4}] = e_ {1}.}

Алгебра ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.3}}$ можно рассматривать как крайний случай ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.2}}$ , когда ${ displaystyle beta rightarrow 0}$ , образуя сжатие алгебры Ли.

Над полем ${ Displaystyle { mathbb {C}}}$ алгебры ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.5} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ , ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.7} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ , ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.6}}$ , ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.9}}$ , ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.10}}$ изоморфны ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.4} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ , ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {3.6} oplus { mathfrak {g}} _ {1}}$ , ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.5}}$ , ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {4.8}}$ , ${ displaystyle {2 { mathfrak {g}}} _ {2.1}}$ , соответственно.