Ограниченная алгебра Ли - Википедия - Restricted Lie algebra

В математика, а ограниченная алгебра Ли это Алгебра Ли вместе с дополнительным "п операция ".

Определение

Позволять L - алгебра Ли над полем k характерных р> 0. А п операция на L это карта ${ Displaystyle X mapsto X ^ {[p]}}$ удовлетворение

${ Displaystyle mathrm {ad} (X ^ {[p]}) = mathrm {ad} (X) ^ {p}}$ для всех ${ displaystyle X in L}$ ,
${ Displaystyle (tX) ^ {[p]} = t ^ {p} X ^ {[p]}}$ для всех ${ displaystyle t in k, X in L}$ ,
${ displaystyle (X + Y) ^ {[p]} = X ^ {[p]} + Y ^ {[p]} + sum _ {i = 1} ^ {p-1} { frac {s_ {i} (X, Y)} {i}}}$ , для всех ${ displaystyle X, Y in L}$ , куда ${ displaystyle s_ {i} (X, Y)}$ коэффициент при ${ Displaystyle т ^ {я-1}}$ в формальном выражении ${ Displaystyle mathrm {ad} (tX + Y) ^ {p-1} (X)}$ .

Если характеристика k равно 0, то L ограниченная алгебра Ли, где п операция - это карта идентичности.

Примеры

Для любой ассоциативной алгебры А определен над полем характеристики п, скобочная операция ${ displaystyle [X, Y]: = XY-YX}$ и п операция ${ displaystyle X ^ {[p]}: = X ^ {p}}$ делать А в ограниченную алгебру Ли ${ Displaystyle mathrm {Ложь} (А)}$ .

Позволять грамм - алгебраическая группа над полем k характеристики п, и ${ displaystyle mathrm {Lie} (G)}$ быть Касательное пространство Зарисского в элементе идентичности грамм. Каждый элемент ${ displaystyle mathrm {Lie} (G)}$ однозначно определяет левоинвариантное векторное поле на грамм, а коммутатор векторных полей определяет структуру алгебры Ли на ${ displaystyle mathrm {Lie} (G)}$ так же, как в Группа Ли дело. Если р> 0, то Карта Фробениуса ${ Displaystyle х mapsto х ^ {p}}$ определяет п операция на ${ displaystyle mathrm {Lie} (G)}$ .

Ограниченная универсальная обертывающая алгебра

Функтор ${ Displaystyle A mapsto mathrm {Lie} (A)}$ имеет левый смежный ${ Displaystyle L mapsto U ^ {[p]} (L)}$ называется ограниченная универсальная обертывающая алгебра. Чтобы построить это, пусть ${ Displaystyle U (L)}$ быть универсальная обертывающая алгебра из L забывая п операция. Сдача я двусторонний идеал, порожденный элементами вида ${ displaystyle x ^ {p} -x ^ {[p]}}$ , мы установили ${ Displaystyle U ^ {[p]} (L) = U (L) / I}$ . Он удовлетворяет форме Теорема PBW.