* -автономная категория - Википедия - *-autonomous category

В математика, а * -автономный (читай "звездно-автономный") категория C это симметричный моноидальная замкнутая категория оснащенный дуализирующим объектом ${ displaystyle bot}$. Концепция также упоминается как Гротендик — категория Вердье ввиду его связи с понятием Двойственность Вердье.

Определение

Позволять C - симметричная моноидальная замкнутая категория. Для любого объекта А и ${ displaystyle bot}$, существует морфизм

${ displaystyle partial _ {A, bot}: от A to (A Rightarrow bot) Rightarrow bot}$

определяется как изображение биекцией, определяющей моноидальное замыкание

${ displaystyle mathrm {Hom} ((A Rightarrow bot) otimes A, bot) cong mathrm {Hom} (A, (A Rightarrow bot) Rightarrow bot)}$

морфизма

${ displaystyle mathrm {eval} _ {A, A Rightarrow bot} circ gamma _ {A Rightarrow bot, A} :( A Rightarrow bot) otimes A to bot}$

куда ${ displaystyle gamma}$ это симметрия тензорного произведения. Объект ${ displaystyle bot}$ категории C называется дуализация когда связанный морфизм ${ displaystyle partial _ {A, bot}}$ является изоморфизмом для каждого объекта А категории C.

Эквивалентно * -автономная категория симметричная моноидальная категория C вместе с функтором ${ displaystyle (-) ^ {*}: C ^ { mathrm {op}} to C}$ так что для каждого объекта А есть естественный изоморфизм ${ Displaystyle A cong {A ^ {**}}}$, а на каждые три объекта А, B и C есть естественная биекция

${ displaystyle mathrm {Hom} (A otimes B, C ^ {*}) cong mathrm {Hom} (A, (B otimes C) ^ {*})}$.

Дуализующий объект C тогда определяется как ${ displaystyle bot = I ^ {*}}$. Эквивалентность двух определений показана путем определения ${ displaystyle A ^ {*} = A Rightarrow bot}$.

Характеристики

Компактные закрытые категории * -автономны с моноидальной единицей как дуализирующим объектом. Наоборот, если единицей * -автономной категории является дуализирующий объект, то существует каноническое семейство отображений

${ displaystyle A ^ {*} otimes B ^ {*} to (B otimes A) ^ {*}}$ .

Все это изоморфизмы тогда и только тогда, когда * -автономная категория компактно замкнута.

Примеры

Знакомый пример - категория конечномерных векторных пространств над любым полем k сделан моноидальным с обычным тензорное произведение векторных пространств. Дуализирующий объект k, одномерное векторное пространство, а дуализация соответствует транспонированию. Хотя категория всех векторных пространств над k не является * -автономным, подходит расширение категорий топологические векторные пространства можно сделать * -автономным.

С другой стороны, категория топологических векторных пространств содержит чрезвычайно широкую полную подкатегорию - категорию Ste из стереотипные пространства, которая является * -автономной категорией с дуализирующим объектом ${ Displaystyle { mathbb {C}}}$ и тензорное произведение ${ displaystyle circledast}$.

Различные модели линейная логика form * -автономные категории, самая ранняя из которых Жан-Ив Жирар Категория пространств когерентности.

Категория полные полурешетки с морфизмами, сохраняющими все соединения, но не обязательно встречающимися, является * -автономной с дуализирующей цепочкой из двух элементов. Вырожденный пример (все гоммножества мощности не более единицы) дается любым Булева алгебра (как частично заказанный набор ) стал моноидальным, используя конъюнкцию для тензорного произведения и взяв 0 в качестве дуализирующего объекта.

Формализм Двойственность Вердье дает дополнительные примеры * -автономных категорий. Например, Боярченко и Дринфельд (2013) отметим, что ограниченная производная категория конструктивных l-адические пучки на алгебраическое многообразие имеет это свойство. Другие примеры включают производные категории конструктивных пучков на различных типах топологических пространств.

Примером самодвойственной категории, которая не является * -автономной, являются конечные линейные порядки и непрерывные функции, которые имеют *, но не являются автономными: ее дуализирующий объект - это двухэлементная цепь, но тензорное произведение отсутствует.

Категория множеств и их частичные инъекции самодвойственны, потому что обратное последнему снова является частичным введением.

Понятие * -автономной категории было введено Майкл Барр в 1979 г. в монографии с таким названием. Барр определил понятие для более общей ситуации V-категории, категории, обогащенные симметричной моноидальной или автономной категорией V. Приведенное выше определение специализирует определение Барра на случай V = Набор обычных категорий, те, чьи гомобъекты образуют множества (морфизмов). Монография Барра включает приложение его ученика По-Сян Чу, в котором подробно излагаются детали конструкции Барра, показывающей существование нетривиальных * -автономных V-категории для всех симметричных моноидальных категорий V с откатами, объекты которых десять лет спустя стали называть Пространства Чу.

Несимметричный случай

В двусмысленная моноидальная категория C, не обязательно симметричный, все же возможно определить дуализирующий объект, а затем определить * -автономную категорию как двусамую моноидальную категорию с дуализирующим объектом. Это эквивалентные определения, как и в симметричном случае.

Рекомендации

• Майкл Барр (1979). * -автономные категории. Конспект лекций по математике. 752. Springer-Verlag. Дои:10.1007 / BFb0064579. ISBN  978-3-540-09563-7.
• Майкл Барр (1995). «Несимметричные * -автономные категории». Теоретическая информатика. 139: 115–130. Дои:10.1016/0304-3975(94)00089-2. S2CID  14721961.
• Майкл Барр (1999). «* -автономные категории: еще раз по трассе» (PDF). Теория и приложения категорий. 6: 5–24.
• Боярченко, Митя; Дринфельд, Владимир (2013), «Формализм дуальности в духе Гротендика и Вердье», Квантовая топология, 4 (4): 447–489, arXiv:1108.6020, Дои:10.4171 / QT / 45, МИСТЕР  3134025

• звездно-автономный + категория в nLab