Ускорение (дифференциальная геометрия) - Википедия - Acceleration (differential geometry)

В математика и физика, ускорение скорость изменения скорости кривой по отношению к заданной линейное соединение. Эта операция позволяет нам измерить скорость и направление «изгиба».^[1][2]

Формальное определение

Рассмотрим дифференцируемое многообразие ${ displaystyle M}$ с данным подключением ${ displaystyle Gamma}$. Позволять ${ Displaystyle gamma двоеточие mathbb {R} to M}$ быть кривой в ${ displaystyle M}$ с касательный вектор, т.е. скорость, ${ Displaystyle { точка { gamma}} ( тау)}$, с параметром ${ Displaystyle тау}$.

Вектор ускорения ${ displaystyle gamma}$ определяется ${ displaystyle nabla _ { dot { gamma}} { dot { gamma}}}$, куда ${ displaystyle nabla}$ обозначает ковариантная производная связано с ${ displaystyle Gamma}$.

Это ковариантная производная по ${ displaystyle gamma}$, и его часто обозначают как

${ displaystyle nabla _ { dot { gamma}} { dot { gamma}} = { frac { nabla { dot { gamma}}} {d tau}}.}$

Относительно произвольной системы координат ${ Displaystyle (х ^ { му})}$, и с ${ displaystyle ( Gamma ^ { lambda} {} _ { mu nu})}$ компоненты связи (т. е. ковариантная производная ${ displaystyle nabla _ { mu}: = nabla _ { partial / x ^ { mu}}}$) относительно этой системы координат, определяемой

${ displaystyle nabla _ { partial / x ^ { mu}} { frac { partial} { partial x ^ { nu}}} = Gamma ^ { lambda} {} _ { mu nu} { frac { partial} { partial x ^ { lambda}}},}$

для векторного поля ускорения ${ displaystyle a ^ { mu}: = ( nabla _ { dot { gamma}} { dot { gamma}}) ^ { mu}}$ получается:

${ displaystyle a ^ { mu} = v ^ { rho} nabla _ { rho} v ^ { mu} = { frac {dv ^ { mu}} {d tau}} + Gamma ^ { mu} {} _ { nu lambda} v ^ { nu} v ^ { lambda} = { frac {d ^ {2} x ^ { mu}} {d tau ^ {2 }}} + Gamma ^ { mu} {} _ { nu lambda} { frac {dx ^ { nu}} {d tau}} { frac {dx ^ { lambda}} {d tau}},}$

куда ${ Displaystyle х ^ { му} ( тау): = гамма ^ { му} ( тау)}$ это локальное выражение для пути ${ displaystyle gamma}$, и ${ displaystyle v ^ { rho}: = ({ dot { gamma}}) ^ { rho}}$.

Концепция ускорения представляет собой ковариантную производную концепцию. Другими словами, для определения ускорения требуется дополнительная структура на ${ displaystyle M}$ должно быть дано.

С помощью обозначение абстрактного индекса, ускорение данной кривой с единицей измерения касательный вектор ${ Displaystyle xi ^ {а}}$ дан кем-то ${ Displaystyle xi ^ {b} nabla _ {b} xi ^ {a}}$.^[3]

Смотрите также

• Ускорение
• Ковариантная производная

Примечания

Рекомендации

• Фридман, М. (1983). Основы теорий пространства-времени. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-07239-6.
• Dillen, F. J. E .; Verstraelen, L.C.A. (2000). Справочник по дифференциальной геометрии. Том 1. Амстердам: Северная Голландия. ISBN  0-444-82240-2.
• Пфистер, Герберт; Король, Маркус (2015). Инерция и гравитация. Фундаментальная природа и структура пространства-времени. Конспект лекций по физике. Том 897. Гейдельберг: Springer. Дои:10.1007/978-3-319-15036-9. ISBN  978-3-319-15035-2.