Агрегатная игра - Aggregative game

В теория игры, совокупная игра это игра, в которой выигрыш каждого игрока является функцией собственной стратегии игрока и совокупности стратегий всех игроков. Концепция была впервые предложена лауреатом Нобелевской премии. Райнхард Зельтен в 1970 году, который рассмотрел случай, когда совокупность представляет собой сумму стратегий игроков.

Определение

Рассмотрим стандартный некооперативная игра с п игроки, где ${ Displaystyle S_ {я} substeq mathbb {R}}$ это стратегия набор плеера я, ${ Displaystyle S = S_ {1} times S_ {2} times ldots times S_ {n}}$ - набор совместной стратегии, и ${ displaystyle f_ {i}: S to mathbb {R}}$ это функция выплаты игрока я. Тогда игра называется совокупная игра если для каждого игрока я существует функция ${ displaystyle { tilde {f}} _ {i}: S_ {i} times mathbb {R} to mathbb {R}}$ такое, что для всех ${ displaystyle s in S}$ :

{ displaystyle f_ {i} (s) = { tilde {f}} _ {i} left (s_ {i}, sum _ {j = 1} ^ {n} s_ {j} right)}

На словах, функции выигрыша в агрегированных играх зависят от игроков. собственные стратегии и совокупность ${ displaystyle sum s_ {j}}$ . В качестве примера рассмотрим Модель Курно где фирма я имеет функцию выплаты / прибыли ${ displaystyle f_ {i} (s) = s_ {i} P left ( sum s_ {j} right) -C_ {i} (s_ {i})}$ (здесь ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle C_ {i}}$ являются, соответственно, обратной функцией спроса и функцией затрат фирмы я). Это совокупная игра, поскольку ${ displaystyle f_ {i} (s) = { tilde {f}} _ {i} left (s_ {i}, sum s_ {j} right)}$ куда ${ Displaystyle { тильда {f}} _ {я} (s_ {i}, X) = s_ {i} P (X) -C_ {i} (s_ {i})}$ .

Обобщения

В литературе появился ряд обобщений стандартного определения агрегированной игры. Игра это обобщенный агрегат^[1] если существует аддитивно отделимая функция ${ displaystyle g: S to mathbb {R}}$ (т.е. если существуют возрастающие функции ${ displaystyle h_ {0}, h_ {1}, ldots, h_ {n}: mathbb {R} to mathbb {R}}$ такой, что ${ displaystyle g (s) = h_ {0} ( sum _ {i} h_ {i} (s_ {i}))}$ ) такая, что для каждого игрока я существует функция ${ displaystyle { tilde {f}} _ {i}: S_ {i} times mathbb {R} to mathbb {R}}$ такой, что ${ displaystyle f_ {i} (s) = { tilde {f}} _ {i} (s_ {i}, g (s_ {1}, ldots, s_ {n}))}$ для всех ${ displaystyle s in S}$ . Очевидно, что любая агрегированная игра является обобщенной агрегатной, если взять ${ Displaystyle г (s_ {1}, ldots, s_ {n}) = сумма s_ {я}}$ . Более общим определением все еще является определение квазиагрегативные игры где функции выигрыша агентов могут зависеть от различных функций стратегий оппонентов.^[2] Агрегированные игры также могут быть обобщены, чтобы учесть бесконечное количество игроков, и в этом случае агрегатор обычно будет интегральной, а не линейной суммой.^[3] Агрегированные игры с континуумом игроков часто изучаются в теория игр среднего поля.

Характеристики

Обобщенные агрегированные игры (следовательно, агрегированные игры) допускают обратный ответ корреспонденции и по сути, это самый общий класс для этого.^[1] Переписки с обратным ответом, а также тесно связанные делиться перепиской, являются мощным аналитическим инструментом в теории игр. Например, корреспонденции обратного ответа использовались, чтобы дать первое общее доказательство существования равновесие по Нэшу в Модель Курно не предполагая квазивогнутость функций прибыли фирм.^[4] Переписки с обратным ответом также играют решающую роль для сравнительная статика анализ (см. ниже).
Квазиагрегативные игры (отсюда обобщенные агрегированные игры, следовательно, агрегированные игры) являются игры с лучшим откликом если количество соответствий с наилучшим ответом увеличивается или уменьшается.^[5]^[2] Точно как игры с стратегическая взаимодополняемость, поэтому такие игры имеют чистая стратегия равновесие по Нэшу независимо от того, являются ли функции выплат квазивогнутый и / или наборы стратегий выпуклый. Доказательство существования в ^[4] является частным случаем таких более общих результатов существования.
Агрегатные игры имеют сильные сравнительная статика характеристики. В очень общих условиях можно предсказать, как изменение экзогенных параметров повлияет на Равновесия Нэша.^[6]^[7]

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Cornes, R .; Харли Р. (2012). «Полностью агрегированные игры». Письма по экономике. 116. С. 631–633.CS1 maint: ref = harv (связь)
^ ^а ^б Дженсен, М. (2010). «Агрегированные игры и потенциал лучшего ответа». Экономическая теория. 43. С. 45–66.CS1 maint: ref = harv (связь)
^ Acemoglu, D .; Дженсен, М. (2010). «Робастная сравнительная статика в больших статических играх». Протоколы IEEE о принятии решений и контроле. 49. С. 3133–3139.CS1 maint: ref = harv (связь)
^ ^а ^б Новшек, В. (1985). «О существовании равновесия Курно». Обзор экономических исследований. 52. С. 86–98.CS1 maint: ref = harv (связь)
^ Dubey, P .; Haimanko, O .; Запечельнюк, А. (2006). «Стратегические дополнения и заменители, а также возможные игры». Игры и экономическое поведение. 54. С. 77–94.CS1 maint: ref = harv (связь)
^ Коршон, Л. (1994). «Сравнительная статика для агрегированных игр. Случай сильной вогнутости». Математические социальные науки. 28. С. 151–165.CS1 maint: ref = harv (связь)
^ Acemoglu, D .; Дженсен, М. (2013). «Агрегированная сравнительная статика». Игры и экономическое поведение. 81. С. 27–49.CS1 maint: ref = harv (связь)