Переменная машина Тьюринга - Alternating Turing machine

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Май 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В теория сложности вычислений, переменная машина Тьюринга (Банкомат) это недетерминированная машина Тьюринга (NTM) с правилом принятия вычислений, которое обобщает правила, используемые при определении классы сложности НП и со-НП. Концепция банкомата была изложена Чандра и Stockmeyer^[1] и независимо Козен^[2] в 1976 г. с совместной публикацией в журнале в 1981 г.^[3]

Определения

Неформальное описание

В определении NP используется экзистенциальный режим вычисления: если любой выбор приводит к состоянию принятия, тогда все вычисления принимаются. В определении co-NP используется универсальный режим вычисления: только если все выбор приводит к состоянию принятия, принимает ли все вычисления. Альтернативная машина Тьюринга (или, точнее, определение принятия для такой машины) чередуется между этими режимами.

An переменная машина Тьюринга это недетерминированная машина Тьюринга состояния которой делятся на два набора: экзистенциальные состояния и универсальные государства. Экзистенциальное состояние считается приемлемым, если некоторый переход приводит к принимающему состоянию; универсальное состояние - это принятие, если каждый переход приводит к принимающему состоянию. (Таким образом, универсальное состояние без переходов принимает безусловно; экзистенциальное состояние без переходов отвергает безусловно). Машина в целом принимает, если исходное состояние принимает.

Формальное определение

Формально (одинарная) переменная машина Тьюринга это 5-кортеж ${ Displaystyle M = (Q, Gamma, delta, q_ {0}, g)}$ куда

• ${ displaystyle Q}$ конечный набор состояний
• ${ displaystyle Gamma}$ конечный ленточный алфавит
• ${ displaystyle delta: Q times Gamma rightarrow { mathcal {P}} (Q times Gamma times {L, R })}$ называется функцией перехода (L сдвигает голову влево и р сдвигает голову вправо)
• ${ displaystyle q_ {0} in Q}$ это начальное состояние
• ${ displaystyle g: Q rightarrow { wedge, vee, принять, отклонить }}$ определяет тип каждого состояния

Если M находится в состоянии ${ displaystyle q in Q}$ с ${ displaystyle g (q) = accept}$ тогда эта конфигурация называется принимая, и если ${ displaystyle g (q) = отклонить}$ конфигурация называется отвергая. Конфигурация с ${ Displaystyle г (д) = клин}$ считается принимающим, если все конфигурации, достижимые на одном шаге, принимаются, и отклоняющим, если некоторая конфигурация, достижимая на одном шаге, отклоняется. Конфигурация с ${ Displaystyle г (д) = vee}$ считается принимающим, когда существует некоторая конфигурация, достижимая на одном шаге, которая принимает и отклоняет, когда все конфигурации, достижимые на одном шаге, отклоняются (это тип всех состояний в NTM). M считается, что принимает входную строку ш если начальная конфигурация M (Штат M является ${ displaystyle q_ {0}}$, головка находится на левом конце ленты, а лента содержит ш) принимает, и отклонить, если исходная конфигурация отклоняет.

Ограничения ресурсов

При принятии решения о том, принимает или отклоняет конфигурация банкомата, используя приведенное выше определение, нет необходимости проверять все конфигурации, доступные из текущей конфигурации. В частности, существующая конфигурация может быть помечена как принимающая, если будет обнаружено, что какая-либо конфигурация-преемник принимает, а универсальная конфигурация может быть помечена как отклоняющая, если обнаружено, что какая-либо конфигурация-преемник отклоняет.

Банкомат решает формальный язык во время ${ Displaystyle т (п)}$ если на любом входе длины п, рассматривая конфигурации только до ${ Displaystyle т (п)}$ шагов достаточно, чтобы пометить начальную конфигурацию как принимающую или отклоняющую. Банкомат определяет язык в космосе ${ Displaystyle s (п)}$ при проверке конфигураций, которые не изменяют ячейки ленты за пределы ${ Displaystyle s (п)}$ ячейка слева достаточно.

Язык, который вовремя определяет банкомат ${ Displaystyle с cdot т (п)}$ для некоторой постоянной ${ displaystyle c> 0}$ говорят, что в классе ${ Displaystyle { mathsf {ATIME}} (т (п))}$, и язык решился в космосе ${ Displaystyle с cdot s (п)}$ говорят, что в классе ${ displaystyle { mathsf {ASPACE}} (s (n))}$.

Пример

Возможно, самая простая проблема для решения чередующихся машин - это квантифицированная задача булевой формулы, который является обобщением Проблема логической выполнимости в котором каждая переменная может быть связана либо экзистенциальным, либо универсальным квантором. Чередующийся механизм ветвится экзистенциально, чтобы перепробовать все возможные значения экзистенциально квантифицированной переменной, и универсально, чтобы испытать все возможные значения универсально квантифицированной переменной, в порядке слева направо, в котором они связаны. После определения значения для всех количественных переменных машина принимает, если результирующая логическая формула оценивается как истина, и отклоняет, если она оценивается как ложь. Таким образом, при количественно определенной переменной машина принимает, если значение может быть заменено на переменную, которая делает оставшуюся проблему выполнимой, а при универсально определяемой переменной машина принимает, если любое значение может быть заменено и оставшаяся проблема является удовлетворительной.

Такая машина решает количественные булевы формулы во времени ${ Displaystyle п ^ {2}}$ и космос ${ displaystyle n}$.

Проблема булевой выполнимости может рассматриваться как частный случай, когда все переменные экзистенциально определены количественно, что позволяет обычному недетерминизму, который использует только экзистенциальное ветвление, эффективно решать ее.

Классы сложности и сравнение с детерминированными машинами Тьюринга

Следующее классы сложности полезно определить для банкоматов:

• ${ displaystyle { mathsf {AP}} = bigcup _ {k> 0} { mathsf {ATIME}} (n ^ {k})}$ являются ли языки разрешимыми за полиномиальное время
• ${ displaystyle { mathsf {APSPACE}} = bigcup _ {k> 0} { mathsf {ASPACE}} (n ^ {k})}$ являются ли языки разрешимыми в полиномиальном пространстве
• ${ displaystyle { mathsf {AEXPTIME}} = bigcup _ {k> 0} { mathsf {ATIME}} (2 ^ {n ^ {k}})}$ являются ли языки разрешимыми за экспоненциальное время

Они похожи на определения п, PSPACE, и EXPTIME, учитывая ресурсы, используемые банкоматом, а не детерминированной машиной Тьюринга. Чандра, Козен и Стокмейер^[3] доказал теоремы

• ALOGSPACE = P
• AP = PSPACE
• APSPACE = EXPTIME
• AEXPTIME = EXPSPACE
• ${ displaystyle { mathsf {ASPACE}} (f (n)) = bigcup _ {c> 0} { mathsf {DTIME}} (2 ^ {cf (n)}) = { mathsf {DTIME}} (2 ^ {O (f (n))})}$
• ${ Displaystyle { mathsf {ATIME}} (г (п)) substeq { mathsf {DSPACE}} (г (п))}$
• ${ displaystyle { mathsf {NSPACE}} (г (п)) substeq bigcup _ {c> 0} { mathsf {ATIME}} (c times g (n) ^ {2}),}$

когда ${ Displaystyle е (п) geq журнал (п)}$ и ${ Displaystyle г (п) geq журнал (п)}$.

Более общая форма этих отношений выражается Тезис о параллельных вычислениях.

Ограниченное чередование

Определение

An чередование машины Тьюринга с k чередования является чередующейся машиной Тьюринга, которая переключается из экзистенциального в универсальное состояние или наоборот, не более чем k−1 раз. (Это переменная машина Тьюринга, состояния которой разделены на k наборы. Состояния в наборах с четными номерами являются универсальными, а состояния в наборах с нечетными номерами являются экзистенциальными (или наоборот). У машины нет переходов между состояниями в наборе я и состояние в наборе j < я.)

${ displaystyle { mathsf {ATIME}} (C, j) = Sigma _ {j} { mathsf {TIME}} (C)}$ класс функции во времени ${ displaystyle f in C}$ начиная с экзистенциального состояния и чередуя самое большее ${ displaystyle j-1}$ раз. Это называется j-й уровень ${ Displaystyle { mathsf {ВРЕМЯ}} (С)}$ иерархия.

${ displaystyle { mathsf {coATIME}} (C, j) = Pi _ {j} { mathsf {TIME}} (C)}$ это те же классы, но начиная с универсального состояния, это дополнение языка ${ displaystyle { mathsf {ATIME}} (f, j)}$.

${ displaystyle { mathsf {ASPACE}} (C, j) = Sigma _ {j} { mathsf {SPACE}} (C)}$ аналогично определяется для вычисления с ограниченным пространством.

Пример

Рассмотрим задача минимизации схемы: учитывая схему А вычисление Логическая функция ж и ряд п, определите, есть ли в цепи не более п ворота, которые вычисляют ту же функцию ж. Альтернативная машина Тьюринга с одним чередованием, начиная с экзистенциального состояния, может решить эту проблему за полиномиальное время (угадывая схему B максимум с п ворот, затем переключиться в универсальное состояние, угадать вход и проверить, что выход B на этом входе соответствует выходу А на этом входе).

Сворачивающиеся классы

Говорят, что иерархия рушится выровнять j если каждый язык на уровне ${ Displaystyle к geq j}$ иерархии находится на своем уровне j.

Как следствие Теорема Иммермана – Селепсеньи, иерархия логарифмического пространства схлопывается до своего первого уровня.^[4] Как следствие ${ Displaystyle { mathsf {ПРОБЕЛ}} (е)}$ иерархия рушится до своего первого уровня, когда ${ displaystyle f = Omega ( log)}$ является конструктивное пространство^{[нужна цитата ]}.

Особые случаи

Переменная машина Тьюринга за полиномиальное время с k чередования, начиная с экзистенциального (соответственно универсального) состояния, могут решить все проблемы класса ${ displaystyle Sigma _ {k} ^ {p}}$ (соответственно, ${ displaystyle Pi _ {k} ^ {p}}$).^[5]Эти классы иногда обозначают ${ displaystyle Sigma _ {k} { rm {P}}}$ и ${ displaystyle Pi _ {k} { rm {P}}}$соответственно. полиномиальная иерархия статью для подробностей.

Другой частный случай иерархий времени - это логарифмическая иерархия.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Майкл Сипсер (2006). Введение в теорию вычислений, 2-е изд.. PWS Publishing. ISBN  978-0-534-95097-2. Раздел 10.3: Чередование, стр. 380–386.
• Христос Пападимитриу (1993). Вычислительная сложность (1-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-201-53082-7. Раздел 16.2: Чередование, стр. 399–401.
• Бахадыр Хусаинов; Анил Нероде (2012). Теория автоматов и ее приложения. Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4612-0171-7.