Функция гнева - Anger function

В математике Функция гнева, представлен К. Т. Гнев  (1855 ), является функцией, определяемой как

${ displaystyle mathbf {J} _ { nu} (z) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} cos ( nu theta -z sin тета) , д тета}$

и тесно связан с Функции Бесселя.

В Функция Вебера (также известен как Функция Ломмеля-Вебера), представлен Х. Ф. Вебер  (1879 ), является тесно связанной функцией, определяемой

${ displaystyle mathbf {E} _ { nu} (z) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} sin ( nu theta -z sin тета) , д тета}$

и тесно связан с Функции Бесселя второго рода.

Связь между функциями Вебера и гнева

Функции Гнева и Вебера связаны между собой

${ Displaystyle { begin {align} sin ( pi nu) mathbf {J} _ { nu} (z) & = cos ( pi nu) mathbf {E} _ { nu} (z) - mathbf {E} _ {- nu} (z) - sin ( pi nu) mathbf {E} _ { nu} (z) & = cos ( pi nu) mathbf {J} _ { nu} (z) - mathbf {J} _ {- nu} (z) end {align}}}$

так, в частности, если ν не является целым числом, они могут быть выражены как линейные комбинации друг друга. Если ν - целое число, то функции Гнева J_ν такие же, как функции Бесселя J_ν, а функции Вебера можно выразить как конечные линейные комбинации Функции Струве.

Расширение серии Power

Функция гнева имеет расширение степенного ряда.^[1]

${ displaystyle mathbf {J} _ { nu} (z) = cos { frac { pi nu} {2}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} Gamma left (k + { frac { nu} {2}} + 1 right) Gamma left (k - { frac { nu} {2}} + 1 right)}} + sin { frac { pi nu} {2}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} Gamma left (k + { frac { nu} {2}} + { frac {3} {2}) } right) Gamma left (k - { frac { nu} {2}} + { frac {3} {2}} right)}}}$

В то время как функция Вебера имеет расширение степенного ряда^[1]

${ displaystyle mathbf {E} _ { nu} (z) = sin { frac { pi nu} {2}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} Gamma left (k + { frac { nu} {2}} + 1 right) Gamma left (k - { frac { nu} {2}} + 1 right)}} - cos { frac { pi nu} {2}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} Gamma left (k + { frac { nu} {2}} + { frac {3} {2} } right) Gamma left (k - { frac { nu} {2}} + { frac {3} {2}} right)}}}$

Дифференциальные уравнения

Функции Ангера и Вебера являются решениями неоднородных форм уравнения Бесселя

${ displaystyle z ^ {2} y ^ { prime prime} + zy ^ { prime} + (z ^ {2} - nu ^ {2}) y = 0.}$

Точнее, функции Ангера удовлетворяют уравнению^[1]

${ displaystyle z ^ {2} y ^ { prime prime} + zy ^ { prime} + (z ^ {2} - nu ^ {2}) y = { frac {(z- nu) sin ( pi nu)} { pi}},}$

а функции Вебера удовлетворяют уравнению^[1]

${ displaystyle z ^ {2} y ^ { prime prime} + zy ^ { prime} + (z ^ {2} - nu ^ {2}) y = - { frac {z + nu + ( z- nu) cos ( pi nu)} { pi}}.}$

Повторяющиеся отношения

Функция Гнева удовлетворяет этой неоднородной форме отношение повторения^[1]

${ displaystyle z mathbf {J} _ { nu -1} (z) + z mathbf {J} _ { nu +1} (z) = 2 nu mathbf {J} _ { nu} (z) - { frac {2 sin pi nu} { pi}}}$

В то время как функция Вебера удовлетворяет этой неоднородной форме отношение повторения^[1]

${ displaystyle z mathbf {E} _ { nu -1} (z) + z mathbf {E} _ { nu +1} (z) = 2 nu mathbf {E} _ { nu} (z) - { frac {2 (1- cos pi nu)} { pi}}}$

Дифференциальные уравнения с задержкой

Функции Ангера и Вебера удовлетворяют этим однородным формам дифференциальные уравнения с запаздыванием^[1]

${ displaystyle mathbf {J} _ { nu -1} (z) - mathbf {J} _ { nu +1} (z) = 2 { dfrac { partial} { partial z}} mathbf {J} _ { nu} (z)}$

${ displaystyle mathbf {E} _ { nu -1} (z) - mathbf {E} _ { nu +1} (z) = 2 { dfrac { partial} { partial z}} mathbf {E} _ { nu} (z)}$

Функции Ангера и Вебера также удовлетворяют этим неоднородным формам дифференциальные уравнения с запаздыванием^[1]

${ Displaystyle Z { dfrac { partial} { partial z}} mathbf {J} _ { nu} (z) pm nu mathbf {J} _ { nu} (z) = pm z mathbf {J} _ { nu mp 1} (z) pm { frac { sin pi nu} { pi}}}$

${ Displaystyle Z { dfrac { partial} { partial z}} mathbf {E} _ { nu} (z) pm nu mathbf {E} _ { nu} (z) = pm z mathbf {E} _ { nu mp 1} (z) pm { frac {1- cos pi nu} { pi}}}$

использованная литература

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 12». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 498. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. Г-Н  0167642. LCCN  65-12253.
• C.T. Гнев, Neueste Schr. d. Натурф. d. Ges. я. Данциг, 5 (1855), стр. 1-29
• Прудников, А. (2001) [1994], «Функция гнева», Энциклопедия математики, EMS Press
• Прудников, А.П. (2001) [1994], «Функция Вебера», Энциклопедия математики, EMS Press
• Г. Watson, "Трактат по теории функций Бесселя", 1–2, Cambridge Univ. Пресса (1952)
• H.F. Weber, Zurich Vierteljahresschrift, 24 (1879), стр. 33–76.