Функция Струве - Struve function

График

{displaystyle mathrm {H} _ {n} (x)}

за

{displaystyle nin [0,1,2,3,4,5]}

В математика, то Функции Струве $ЧАС α (Икс)$ , являются решениями $у (Икс)$ неоднородных Дифференциальное уравнение Бесселя:

{displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {frac {dy} {dx}} + left (x ^ {2} -alpha ^ {2} ight) y = {frac {4left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha +1}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight) }}}

представлен Герман Струве (1882 ). В комплексное число α - это порядок функции Струве, и часто является целым числом.

И далее определил его версию второго рода ${displaystyle mathbf {K} _ {alpha} (x)}$ в качестве ${displaystyle mathbf {K} _ {alpha} (x) = mathbf {H} _ {alpha} (x) -Y_ {alpha} (x)}$ .

В модифицированные функции Струве $L α (Икс)$ равны $- т.е. - iαπ / 2 ЧАС α (ix)$ , являются решениями $у (Икс)$ неоднородных Дифференциальное уравнение Бесселя:

{displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {frac {dy} {dx}} - слева (x ^ {2} + alpha ^ {2} ight) y = {frac {4left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha +1}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight) }}}

И далее определил его версию второго рода ${displaystyle mathbf {M} _ {alpha} (x)}$ в качестве ${displaystyle mathbf {M} _ {alpha} (x) = mathbf {L} _ {alpha} (x) -I_ {alpha} (x)}$ .

Определения

Поскольку это неоднородный уравнения, решения могут быть построены из одного частного решения путем сложения решений однородной задачи. В этом случае однородными решениями являются Функции Бесселя, а частное решение можно выбрать в качестве соответствующей функции Струве.

Расширение серии Power

Функции Струве, обозначаемые как $ЧАС α (z)$ имеют вид степенного ряда

{displaystyle mathbf {H} _ {alpha} (z) = sum _ {m = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {m}} {Гамма слева (m + {frac {3} {2}) } ight) Гамма слева (m + alpha + {frac {3} {2}} ight)}} left ({frac {z} {2}} ight) ^ {2m + alpha +1},}

куда $Γ (z)$ это гамма-функция.

Модифицированные функции Струве, обозначенные $L ν (z)$ , имеют следующий вид степенного ряда

{displaystyle mathbf {L} _ {u} (z) = left ({frac {z} {2}} ight) ^ {u +1} sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} { Гамма слева ({frac {3} {2}} + kight) Гамма слева ({frac {3} {2}} + k + u ight)}} left ({frac {z} {2}} ight) ^ { 2k}.}

Интегральная форма

Другое определение функции Струве для значений $α$ удовлетворение $Re (α) > - 1 / 2$ , можно выразить через интегральное представление Пуассона:

{displaystyle mathbf {H} _ {alpha} (x) = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac { 1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {1} (1-t ^ {2}) ^ {alpha - {frac {1} {2}}} sin xt ~ dt = {frac { 2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ { frac {pi} {2}} sin (xcos au) sin ^ {2alpha} au ~ d au = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi} } Гамма слева (альфа + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} sin (xsin au) cos ^ {2alpha} au ~ d au}

{displaystyle mathbf {K} _ {alpha} (x) = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac { 1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {infty} (1 + t ^ {2}) ^ {alpha - {frac {1} {2}}} e ^ {- xt} ~ dt = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ { 0} ^ {infty} e ^ {- xsinh au} cosh ^ {2alpha} au ~ d au}

{displaystyle mathbf {L} _ {alpha} (x) = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac { 1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {1} (1-t ^ {2}) ^ {alpha - {frac {1} {2}}} sinh xt ~ dt = {frac { 2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ { frac {pi} {2}} sinh (xcos au) sin ^ {2alpha} au ~ d au = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi} } Гамма слева (альфа + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} sinh (xsin au) cos ^ {2alpha} au ~ d au}

{displaystyle mathbf {M} _ {alpha} (x) = - {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {1} (1-t ^ {2}) ^ {alpha - {frac {1} {2}}} e ^ {- xt} ~ dt = - {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} e ^ {- xcos au} sin ^ {2alpha} au ~ d au = - {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ { alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} e ^ {- xsin au} cos ^ {2alpha} au ~ d au}

Асимптотические формы

Для малых $Икс$ дается разложение в степенной ряд над.

Для больших $Икс$ , получаем:

{displaystyle mathbf {H} _ {alpha} (x) -Y_ {alpha} (x) = {frac {left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha -1}} {{sqrt {pi }} Гамма слева (альфа + {frac {1} {2}} ight)}} + Oleft (left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha -3} ight),}

куда $Y α (Икс)$ это Функция Неймана.

Характеристики

Функции Струве удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:

{displaystyle {egin {align} mathbf {H} _ {alpha -1} (x) + mathbf {H} _ {alpha +1} (x) & = {frac {2alpha} {x}} mathbf {H} _ {alpha} (x) + {frac {left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {3} {2}} ight) )}}, mathbf {H} _ {alpha -1} (x) -mathbf {H} _ {alpha +1} (x) & = 2 {frac {d} {dx}} left (mathbf {H} _ {alpha} (x) ight) - {frac {left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {3} {2 }} ight)}}. конец {выровнено}}}

Отношение к другим функциям

Функции Струве целого порядка можно выразить через Функции Вебера $E п$ и наоборот: если $п$ является неотрицательным целым числом, тогда

{displaystyle {egin {align} mathbf {E} _ {n} (z) & = {frac {1} {pi}} sum _ {k = 0} ^ {leftlfloor {frac {n-1} {2}} ightfloor} {frac {Гамма слева (k + {frac {1} {2}} ight) left ({frac {z} {2}} ight) ^ {n-2k-1}} {Гамма слева (n-k + { frac {1} {2}} ight)}} - mathbf {H} _ {n} (z), mathbf {E} _ {- n} (z) & = {frac {(-1) ^ {n +1}} {pi}} sum _ {k = 0} ^ {leftlfloor {frac {n-1} {2}} ightfloor} {frac {Gamma (nk- {frac {1} {2}}) left ( {frac {z} {2}} ight) ^ {- n + 2k + 1}} {Гамма слева (k + {frac {3} {2}} ight)}} - mathbf {H} _ {- n} ( z) .end {выровнен}}}

Струве функции порядка $п + 1 / 2$ куда $п$ является целым числом, может быть выражено через элементарные функции. В частности, если $п$ является неотрицательным целым числом, тогда

{displaystyle mathbf {H} _ {- n- {frac {1} {2}}} (z) = (- 1) ^ {n} J_ {n + {frac {1} {2}}} (z), }

где правая часть - это сферическая функция Бесселя.

Функции Струве (любого порядка) можно выразить через обобщенная гипергеометрическая функция $1 F 2$ (который нет гипергеометрическая функция Гаусса $2 F 1$ ):

{displaystyle mathbf {H} _ {alpha} (z) = {frac {z ^ {alpha +1}} {2 ^ {alpha} {sqrt {pi}} Гамма слева (alpha + {frac {3} {2} } ight)}} {} _ {1} F_ {2} left (1, {frac {3} {2}}, alpha + {frac {3} {2}}, - {frac {z ^ {2}) } {4}} ight).}

внешняя ссылка

Функции Струве в сайт функций Wolfram.