Аксиомы Армстронга - Википедия - Armstrongs axioms

Аксиомы Армстронга набор ссылок (точнее, правила вывода ) используется для вывода всех функциональные зависимости на реляционная база данных. Они были разработаны Уильям У. Армстронг в его статье 1974 года.^[1] Аксиомы звук в генерации только функциональных зависимостей в закрытие набора функциональных зависимостей (обозначаемых как ${ displaystyle F ^ {+}}$) применительно к этому набору (обозначается как ${ displaystyle F}$). Они также полный в этом повторном применении этих правил будут генерироваться все функциональные зависимости в замыкании ${ displaystyle F ^ {+}}$.

Более формально, пусть ${ displaystyle langle R (U), F rangle}$ обозначают реляционную схему над набором атрибутов ${ displaystyle U}$ с набором функциональных зависимостей ${ displaystyle F}$. Мы говорим, что функциональная зависимость ${ displaystyle f}$ логически подразумевается ${ displaystyle F}$, и обозначим его ${ displaystyle F models f}$ тогда и только тогда, когда для каждого экземпляра ${ displaystyle r}$ из ${ displaystyle R}$ который удовлетворяет функциональным зависимостям в ${ displaystyle F}$, ${ displaystyle r}$ также удовлетворяет ${ displaystyle f}$. Обозначим через ${ displaystyle F ^ {+}}$ набор всех функциональных зависимостей, которые логически подразумеваются ${ displaystyle F}$.

Кроме того, в отношении набора правил вывода ${ displaystyle A}$, мы говорим, что функциональная зависимость ${ displaystyle f}$ выводится из функциональных зависимостей в ${ displaystyle F}$ по набору правил вывода ${ displaystyle A}$, и обозначим его через ${ displaystyle F vdash _ {A} f}$ если и только если ${ displaystyle f}$ можно получить путем повторного применения правил вывода в ${ displaystyle A}$ функциональным зависимостям в ${ displaystyle F}$. Обозначим через ${ displaystyle F_ {A} ^ {*}}$ набор всех функциональных зависимостей, которые выводятся из ${ displaystyle F}$ по правилам вывода в ${ displaystyle A}$.

Затем набор правил вывода ${ displaystyle A}$ является правильным тогда и только тогда, когда выполняется следующее:

${ Displaystyle F_ {A} ^ {*} substeq F ^ {+}}$

то есть мы не можем получить с помощью ${ displaystyle A}$ функциональные зависимости, которые логически не подразумеваются ${ displaystyle F}$.Набор правил вывода ${ displaystyle A}$ называется завершенным, если выполняется следующее:

${ Displaystyle F ^ {+} substeq F_ {A} ^ {*}}$

проще говоря, мы можем получить ${ displaystyle A}$ все функциональные зависимости, которые логически подразумеваются ${ displaystyle F}$.

Аксиомы (первичные правила)

Позволять ${ Displaystyle R (U)}$ быть схемой отношений над набором атрибутов ${ displaystyle U}$. В дальнейшем будем обозначать буквами ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle Y}$, ${ displaystyle Z}$ любое подмножество ${ displaystyle U}$ и, для краткости, объединение двух наборов атрибутов ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ к ${ displaystyle XY}$ вместо обычного ${ Displaystyle X чашка Y}$; это обозначение довольно стандартно в теория баз данных при работе с наборами атрибутов.

Аксиома рефлексивности

Если ${ displaystyle X}$ это набор атрибутов и ${ displaystyle Y}$ это подмножество ${ displaystyle X}$, тогда ${ displaystyle X}$ держит ${ displaystyle Y}$. Настоящим ${ displaystyle X}$ держит ${ displaystyle Y}$ [${ Displaystyle от X до Y}$] Значит это ${ displaystyle X}$ функционально определяет ${ displaystyle Y}$.

Если ${ Displaystyle Y substeq X}$ тогда ${ Displaystyle от X до Y}$.

Аксиома увеличения

Если ${ displaystyle X}$ держит ${ displaystyle Y}$ и ${ displaystyle Z}$ это набор атрибутов, то ${ displaystyle XZ}$ держит ${ displaystyle YZ}$. Это означает, что атрибут в зависимостях не изменяет базовые зависимости.

Если ${ Displaystyle от X до Y}$, тогда ${ displaystyle XZ to YZ}$ для любого ${ displaystyle Z}$.

Аксиома транзитивности

Если ${ displaystyle X}$ держит ${ displaystyle Y}$ и ${ displaystyle Y}$ держит ${ displaystyle Z}$, тогда ${ displaystyle X}$ держит ${ displaystyle Z}$.

Если ${ Displaystyle от X до Y}$ и ${ displaystyle Y to Z}$, тогда ${ displaystyle X to Z}$.

Дополнительные правила (Secondary Rules)

Эти правила могут быть выведены из приведенных выше аксиом.

Разложение

Если ${ displaystyle X to YZ}$ тогда ${ Displaystyle от X до Y}$ и ${ displaystyle X to Z}$.

Доказательство

1. ${ displaystyle X to YZ}$	(Данный)
2. ${ displaystyle YZ to Y}$	(Рефлексивность)
3. ${ Displaystyle от X до Y}$	(Транзитивность 1 и 2)

Сочинение

Если ${ Displaystyle от X до Y}$ и ${ displaystyle от A до B}$ тогда ${ displaystyle XA to YB}$.

Доказательство

1. ${ Displaystyle от X до Y}$	(Данный)
2. ${ displaystyle от A до B}$	(Данный)
3. ${ displaystyle XA to YA}$	(Увеличение 1 и A)
4. ${ displaystyle XA to Y}$	(Разложение 3)
5. ${ displaystyle XA to XB}$	(Дополнение 2 и X)
6. ${ displaystyle XA to B}$	(Разложение 5)
7. ${ displaystyle XA to YB}$	(Союз 4 и 6)

Союз (Обозначение)

Если ${ Displaystyle от X до Y}$ и ${ displaystyle X to Z}$ тогда ${ displaystyle X to YZ}$.

Псевдотранзитивность

Если ${ Displaystyle от X до Y}$ и ${ displaystyle YZ to W}$ тогда ${ displaystyle XZ to W}$.

Доказательство

1. ${ Displaystyle от X до Y}$	(Данный)
2. ${ displaystyle YZ to W}$	(Данный)
3. ${ displaystyle XZ to YZ}$	(Увеличение 1 и Z)
4. ${ displaystyle XZ to W}$	(Транзитивность 3 и 2)

Самоопределение

${ displaystyle I to I}$ для любого ${ displaystyle I}$. Это прямо следует из аксиомы рефлексивности.

Экстенсивность

Следующее свойство является частным случаем увеличения, когда ${ Displaystyle Z = X}$.

Если ${ Displaystyle от X до Y}$, тогда $от { displaystyle X до XY}$.

Экстенсивность может заменить увеличение как аксиому в том смысле, что увеличение может быть доказано из экстенсивности вместе с другими аксиомами.

Доказательство

1. ${ displaystyle XZ to X}$	(Рефлексивность)
2. ${ Displaystyle от X до Y}$	(Данный)
3. ${ displaystyle XZ to Y}$	(Транзитивность 1 и 2)
4. $от { displaystyle XZ до XYZ}$	(Экстенсивность 3)
5. ${ displaystyle XYZ to YZ}$	(Рефлексивность)
6. ${ displaystyle XZ to YZ}$	(Транзитивность 4 и 5)

Отношение Армстронга

Учитывая набор функциональных зависимостей ${ displaystyle F}$, Отношение Армстронга это отношение, удовлетворяющее всем функциональным зависимостям в замыкании ${ displaystyle F ^ {+}}$ и только эти зависимости. К сожалению, отношение Армстронга минимального размера для данного набора зависимостей может иметь размер, который является экспоненциальной функцией количества атрибутов в рассматриваемых зависимостях.^[2]

Рекомендации

внешняя ссылка

• UMBC CMSC 461 Весна '99
• CS345 Лекционные заметки Стэнфордского университета