BCK алгебра - BCK algebra

В математике BCI и BCK алгебры находятся алгебраические структуры в универсальная алгебра, которые были введены Я. Имаи, К. Исеки и С. Танака в 1966 году и описывают фрагменты исчисления высказываний, включающие импликацию, известную как BCI и S. Логика BCK.

Определение

BCI алгебра

Алгебра (в смысле универсальной алгебры) ${displaystyle left (X; ast, 0ight)}$ типа ${displaystyle left (2,0ight)}$ называется BCI-алгебра если для любого ${displaystyle x, y, zin X}$, он удовлетворяет следующим условиям. (Неформально мы можем прочитать ${displaystyle 0}$ как "правда" и ${displaystyle xast y}$ в качестве "${displaystyle y}$ подразумевает ${displaystyle x}$".)

BCI-1

${displaystyle left (left (xast yight) ast left (xast zight) ight) ast left (zast yight) = 0}$

BCI-2

${displaystyle left (xast left (xast yight) ight) ast y = 0}$

BCI-3

${displaystyle xast x = 0}$

BCI-4

${displaystyle xast y = 0land yast x = 0 подразумевает x = y}$

BCI-5

${displaystyle xast 0 = 0 подразумевает x = 0}$

BCK алгебра

BCI-алгебра ${displaystyle left (X; ast, 0ight)}$ называется BCK-алгебра если он удовлетворяет следующему условию:

БСК-1

${displaystyle forall xin X: 0ast x = 0.}$

Тогда частичный порядок можно определить как Икс ≤ у если и только если x * y = 0.

BCK-алгебра называется коммутативный если удовлетворяет:

${displaystyle xast (xast y) = yast (yast x)}$

В коммутативной BCK-алгебре Икс * (Икс * у) = Икс ∧ у это наибольшая нижняя граница из Икс и у при частичном порядке ≤.

BCK-алгебра называется ограниченной, если она имеет наибольший элемент, обычно обозначаемый 1. В ограниченной коммутативной BCK-алгебре наименьшая верхняя грань двух элементов удовлетворяет Икс ∨ у = 1 * ((1 * Икс) ∧ (1 * у)); что делает его распределительная решетка.

Примеры

Каждый абелева группа является BCI-алгеброй, где * определено как групповое вычитание, а 0 определено как групповая идентичность.

Подмножества множества образуют BCK-алгебру, где A * B - разница AB (элементы в A, но не в B), а 0 - это пустой набор.

А Булева алгебра является алгеброй BCK, если А*B определяется как А∧¬B (А не подразумевает B).

Ограниченные коммутативные BCK-алгебры - это в точности MV-алгебры.

Рекомендации

• Энджелл, Р. Б. (1970), "Обзор нескольких статей по BCI, BCK-алгебрам", Журнал символической логики, 35 (3): 465–466, Дои:10.2307/2270728, ISSN  0022-4812, JSTOR  2270728
• Араи, Йошинари; Исэки, Киёси; Танака, Сётаро (1966), «Характеризации BCI, BCK-алгебр», Proc. Япония Acad., 42 (2): 105–107, Дои:10.3792 / pja / 1195522126, МИСТЕР  0202572
• Ху, C.S. (2001) [1994], "Алгебра БЧХ", Энциклопедия математики, EMS Press
• Ху, C.S. (2001) [1994], «Алгебра BCI», Энциклопедия математики, EMS Press
• Ху, C.S. (2001) [1994], «Алгебра BCK», Энциклопедия математики, EMS Press
• Iséki, K .; Танака, С. (1978), "Введение в теорию BCK-алгебр", Математика. Япония., 23: 1–26
• Ю. Хуанг, BCI-алгебра, Science Press, Пекин, 2006.
• Imai, Y .; Исеки, К. (1966), "О системах аксиом исчисления высказываний, XIV", Proc. Япония Acad. Сер. А. Математика. Sci., 42: 19–22, Дои:10.3792 / pja / 1195522169
• Исеки, К. (1966), «Алгебра, связанная с исчислением высказываний», Proc. Япония Acad. Сер. А. Математика. Sci., 42: 26–29, Дои:10.3792 / pja / 1195522171