Теорема Бапата – Бека. - Bapat–Beg theorem

В теория вероятности, то Теорема Бапата – Бека. дает совместное распределение вероятностей из статистика заказов из независимый но не обязательно одинаково распределены случайные переменные с точки зрения кумулятивные функции распределения случайных величин. Равиндра Бапат и Бег опубликовали теорему в 1989 г.[1] хотя они не представили доказательств. Простое доказательство было предложено Ханде в 1994 году.[2]

Часто все элементы образец получены из одной и той же популяции и, следовательно, имеют одинаковые распределение вероятностей. Теорема Бапата – Бега описывает статистику порядка, когда каждый элемент выборки получается из разных статистическая совокупность и поэтому имеет свой распределение вероятностей.[1]

утверждение

Позволять быть независимыми вещественными случайными величинами с кумулятивные функции распределения соответственно . Написать для статистики заказов. Тогда совместное распределение вероятностей статистика заказов (с и ) является

где

это постоянный данного блочная матрица. (Цифры под фигурными скобками показывают количество столбцов.)[1]

Независимый одинаково распределенный корпус

В случае, когда переменные находятся независимые и одинаково распределенные с кумулятивная функция распределения вероятностей для всех я теорема сводится к

Замечания

  • Предположение о непрерывности кумулятивных функций распределения не требуется.[2]
  • Если неравенства Икс1 < Икс2 < ... < Иксk не накладываются, некоторые из неравенств «могут быть избыточными, и вероятность может быть оценена после необходимого сокращения».[1]

Сложность

Glueck et al. обратите внимание, что формула Бапата-Бега «вычислительно трудновыполнима, потому что она включает экспоненциальное количество перманентов, равное количеству случайных величин»[3] Однако, когда случайные величины имеют только два возможных распределения, сложность может быть уменьшена до O (м2k).[3] Таким образом, в случае двух популяций сложность полиномиальна от м для любого фиксированного количества статистикиk.

Рекомендации

  1. ^ а б c d Bapat, R. B .; Бег, М. И. (1989). «Статистика порядка для неидентично распределенных переменных и перманентов». Санкхья: Индийский статистический журнал, серия A (1961–2002). 51 (1): 79–93. JSTOR  25050725. Г-Н  1065561.
  2. ^ а б Ханде, Саяджи (1994). «Примечание о статистике заказов для переменных, не имеющих идентичного распределения». Санкхья: Индийский статистический журнал, серия A (1961–2002). 56 (2): 365–368. JSTOR  25050995. Г-Н  1664921.
  3. ^ а б Глюк; Анис Каримпур-Фард; Ян Мандель; Ларри Хантер; Мюллер (2008). «Быстрое вычисление блочными перманентами кумулятивных функций распределения статистики заказов из нескольких популяций». Коммуникации в статистике - теория и методы. 37 (18): 2815–2824. arXiv:0705.3851. Дои:10.1080/03610920802001896. ЧВК  2768298. PMID  19865590.