Матроид с базовым заказом - Base-orderable matroid

В математике базовый заказываемый матроид это матроид который имеет следующее дополнительное свойство, связанное с основы матроида.^[1]

Для любых двух баз ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ существует возможный обмен биекция, определяемая как биекция ${ displaystyle f}$ из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ , так что для каждого ${ displaystyle a in A setminus B}$ , обе ${ Displaystyle (А setminus {а }) чашка {е (а) }}$ и ${ Displaystyle (В setminus {е (а) }) чашка {а }}$ это базы.

Свойство было представлено Бруальди и Скримгером.^[2]^[3] А матроид с строго базовым порядком обладает следующим более сильным свойством:

Для любых двух баз ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ , Существует сильная возможная обменная биекция, определяемая как биекция ${ displaystyle f}$ из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle B}$ , так что для каждого ${ Displaystyle X substeq A}$ , обе ${ Displaystyle (А setminus X) чашка f (X)}$ и ${ Displaystyle (В setminus f (X)) чашка X}$ это базы.

Недвижимость в контексте

Базовая возможность заказа предъявляет два требования к функции ${ displaystyle f}$ :

Это должно быть взаимное предубеждение;
Для каждого ${ displaystyle a in A setminus B}$ , обе ${ Displaystyle (А setminus {а }) чашка {е (а) }}$ и ${ Displaystyle (В setminus {е (а) }) чашка {а }}$ должны быть базы.

Каждое из этих свойств легко удовлетворить:

Все основания данного матроида имеют одинаковую мощность, поэтому есть п! биекций между ними (где п - общий размер оснований). Но не гарантируется, что одна из этих биекций удовлетворяет свойству 2.
Все базы ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ матроида удовлетворяют свойство обмена симметричным базисом, то есть для каждого ${ displaystyle a in A setminus B}$ , есть некоторые ${ displaystyle f (a) in B setminus A}$ , так что оба ${ Displaystyle (А setminus {а }) чашка {е (а) }}$ и ${ Displaystyle (В setminus {е (а) }) чашка {а }}$ это базы. Однако не гарантируется, что результирующая функция f будет биекцией - возможно, что несколько ${ displaystyle a}$ совпадают с тем же ${ Displaystyle f (а)}$ .

Матроиды, которые нельзя заказать в базе

Некоторые матроиды недоступны для базового заказа. Ярким примером является графический матроид на графике K₄, т.е. матроид, основаниями которого являются остовные деревья клика на 4 вершинах.^[1] Обозначим вершины K₄ на 1,2,3,4, а его ребра на 12,13,14,23,24,34. Обратите внимание, что это основания:

{12,13,14}, {12,13,24}, {12,13,34}; {12,14,23}, {12,14,34}; {12,23,24}, {12,23,34}; {12,24,34};
{13,14,23}, {13,14,24}; {13,23,24}, {13,23,34}; {13,24,34};
{14,23,24}, {14,23,34}; {14,24,34}.

Рассмотрим две основы А = {12,23,34} и B = {13,14,24}, и предположим, что существует функция ж удовлетворяющие свойству обмена (свойство 2 выше). Потом:

ж(12) должно быть равно 14: оно не может быть 24, поскольку A {12} + {24} = {23,24,34}, что не является базисом; не может быть 13, так как B {13} + {12} = {12,14,24}, что не является базисом.
ж(34) должно равняться 14: оно не может быть 24, поскольку B {24} + {34} = {13,14,34}, что не является базисом; не может быть 13, так как A {34} + {13} = {12,13,23}, что не является базисом.

потом ж не является биекцией - он отображает два элемента А к тому же элементу B.

Есть матроиды, которые можно заказывать по основанию, но не с сильным упорядочиванием.^[4]^[1]

Матроиды, доступные для базового заказа

Каждый раздел matroid доступен для базового заказа. Каждый поперечный матроид строго базовый заказ.^[2]

Характеристики

В матроидах с базовым порядком возможная взаимная биекция обмена существует не только между базами, но и между любыми двумя независимыми наборами одинаковой мощности, т. Е. Любыми двумя независимыми наборами. ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ такой, что ${ displaystyle | A | = | B |}$ .

Это можно доказать индукцией по разнице между размером множеств и размером базиса (напомним, что все базы матроида имеют одинаковый размер). Если разница равна 0, то наборы на самом деле являются базами, а свойство следует из определения матроидов с базовым порядком. В противном случае, благодаря свойству увеличения матроида, мы можем увеличить ${ displaystyle A}$ к независимому множеству ${ Displaystyle А чашка {х }}$ и увеличить ${ displaystyle B}$ к независимому множеству ${ Displaystyle В чашка {у }}$ . Тогда по предположению индукции существует допустимая обменная биекция ${ displaystyle f}$ между ${ Displaystyle А чашка {х }}$ и ${ Displaystyle В чашка {у }}$ . Если ${ Displaystyle е (х) = у}$ , то ограничение ${ displaystyle f}$ к ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ - допустимая обменная биекция. Иначе, ${ displaystyle f ^ {- 1} (y) in A}$ и ${ displaystyle f (x) in B}$ , так ${ displaystyle f}$ можно изменить, установив: ${ Displaystyle е (е ^ {- 1} (у)): = е (х)}$ . Тогда ограничение модифицированной функции на ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ - допустимая обменная биекция.

Полнота

Класс матроидов с базовым заказом: полный. Это означает, что он замкнут относительно операций миноров, двойников, прямых сумм, усечений и индукции по ориентированным графам.^[1]^:2 Он также закрыт при ограничении, объединении и усечении.^[5]^:410

То же верно и для класса матроидов с строго базовым порядком.