Матроид перегородок - Partition matroid

В математике раздел matroid или же разделительный матроид это матроид сформированный из прямая сумма из однородные матроиды.^[1] Он определяется на основе базового набора, в котором элементы разделены на разные категории. Для каждой категории есть ограничение мощности - максимальное количество разрешенных элементов из этой категории. Независимые наборы матроида разбиения - это в точности наборы, в которых для каждой категории количество элементов из этой категории не превышает емкости категории.

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle B_ {i}}$ быть собранием непересекающиеся множества («категории»). Позволять ${ displaystyle d_ {i}}$ быть целыми числами с ${ displaystyle 0 leq d_ {i} leq | B_ {i} |}$ («мощности»). Определить подмножество ${ displaystyle I subset bigcup _ {i} B_ {i}}$ быть "независимым", когда для каждого индекса ${ displaystyle i}$, ${ displaystyle | I cap B_ {i} | leq d_ {i}}$. Множества, удовлетворяющие этому условию, образуют независимые множества матроид, называется раздел матроид.

Наборы ${ displaystyle B_ {i}}$ называются блоки или категории матроида раздела.

А основа матроида разбиения - это множество, пересечение которого с каждым блоком ${ displaystyle B_ {i}}$ имеет размер точно ${ displaystyle d_ {i}}$. А схема матроида - это подмножество одного блока ${ displaystyle B_ {i}}$ с размером точно ${ displaystyle d_ {i} +1}$. В классифицировать матроида ${ displaystyle sum d_ {i}}$.^[2]

Каждый униформа матроид ${ displaystyle U {} _ {n} ^ {r}}$ матроид разбиения, состоящий из одного блока ${ displaystyle B_ {1}}$ из ${ displaystyle n}$ элементы и с ${ displaystyle d_ {1} = r}$. Каждый матроид разбиения представляет собой прямую сумму набора однородных матроидов, по одному на каждый из его блоков.

В некоторых публикациях понятие матроида разбиения определяется более строго, с каждым ${ displaystyle d_ {i} = 1}$. Разделы, которые подчиняются этому более строгому определению, - это поперечные матроиды семейства непересекающихся множеств, заданных своими блоками.^[3]

Характеристики

Как и в случае с однородными матроидами, из которых они состоят, двойной матроид матроида разбиения также является матроидом разбиения, и каждый незначительный матроида перегородок также является матроидом перегородок. Прямые суммы матроидов разбиений также являются матроидами разбиений.

Соответствие

А максимальное соответствие в графе - это максимально большой набор ребер при условии, что никакие два ребра не имеют общей конечной точки. В двудольный граф с двудольным ${ Displaystyle (U, V)}$, множества ребер, удовлетворяющих условию, что никакие два ребра не имеют общего конца в ${ displaystyle U}$ - независимые множества матроида разбиения с одним блоком на вершину в ${ displaystyle U}$ и с каждым из чисел ${ displaystyle d_ {i}}$ равно единице. Множества ребер, удовлетворяющих условию, что никакие два ребра не имеют общего конца в ${ displaystyle V}$ - независимые множества второго матроида разбиения. Таким образом, двудольную задачу максимального согласования можно представить в виде пересечение матроидов этих двух матроидов.^[4]

В более общем смысле сопоставления графа могут быть представлены как пересечение двух матроидов тогда и только тогда, когда каждый нечетный цикл в графе является треугольником, содержащим две или более вершины степени два.^[5]

Кликовые комплексы

А кликовый комплекс семейство множеств вершин графа ${ displaystyle G}$ которые индуцируют полные подграфы ${ displaystyle G}$. Кликовый комплекс образует матроид тогда и только тогда, когда ${ displaystyle G}$ это полный многодольный граф, и в этом случае полученный матроид является матроидом разбиения. Кликовые комплексы - это именно те системы, которые могут быть образованы как перекрестки семейств матроидов разбиения, для которых каждое ${ displaystyle d_ {i} = 1}$.^[6]

Перечисление

Количество различных матроидов разбиения, которые могут быть определены на множестве ${ displaystyle n}$ маркированные элементы, для ${ Displaystyle п = 0,1,2, точки}$, является

1, 2, 5, 16, 62, 276, 1377, 7596, 45789, 298626, 2090910, ... (последовательность A005387 в OEIS ).

В экспоненциальная производящая функция этой последовательности ${ Displaystyle е (х) = ехр (е ^ {х} (х-1) + 2х + 1)}$.^[7]

Рекомендации