Функция Бейтмана - Bateman function

В математике Функция Бейтмана (или же k-функция) является частным случаем конфлюэнтная гипергеометрическая функция изучен Гарри Бейтман (1931)^[1]^[2]. Бейтман определил это

{ displaystyle displaystyle k_ {n} (x) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} cos (x tan theta -n theta) , d theta}

Bateman открыл эту функцию, когда Теодор фон Карман потребовал решения следующего дифференциального уравнения, которое появилось в теории турбулентность^[3]

{ Displaystyle х { гидроразрыва {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} = (x-n) u}

и Бейтман нашел эту функцию как одно из решений. Бейтман обозначил эту функцию как функцию "k" в честь Теодор фон Карман.

Это не следует путать с другой функцией с таким же названием, которая используется в фармакокинетике.

Характеристики

${ Displaystyle к_ {0} (х) = е ^ {- | х |}}$
${ Displaystyle к _ {- п} (х) = к_ {п} (- х)}$
${ displaystyle k_ {n} (0) = { frac {2} {n pi}} sin { frac {n pi} {2}}}$
${ Displaystyle к_ {2} (х) = (х + | х |) е ^ {- | х |}}$
${ Displaystyle | к_ {п} (х) | Leq 1}$ для реальных ценностей ${ displaystyle n}$ и ${ displaystyle x}$
${ Displaystyle к_ {2n} (х) = 0}$ за ${ displaystyle x <0}$ если ${ displaystyle n}$ положительное целое число
Если ${ displaystyle n}$ является нечетным целым числом, тогда ${ displaystyle k_ {n} (x) = - { frac {2x} { pi}} [K_ {1} (- x) + K_ {0} (- x)], x <0}$ , куда ${ Displaystyle К_ {п} (- х)}$ это Модифицированная функция Бесселя второго рода.