Последовательность Баума – Сладкого - Baum–Sweet sequence

В математика то Последовательность Баума – Сладкого бесконечный автоматическая последовательность нулей и единиц, определенных правилом:

бп = 1, если двоичное представление п не содержит блока последовательных нулей нечетной длины;
бп = 0 иначе;

за п ≥ 0.[1]

Например, б4 = 1, потому что двоичное представление 4 равно 100, которое содержит только один блок последовательных нулей длины 2; в то время как б5 = 0, потому что двоичное представление 5 равно 101, которое содержит блок последовательных нулей длины 1.

Начинается с п = 0, первые несколько членов последовательности Баума – Свита:

1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1 ... (последовательность A086747 в OEIS )

Историческая мотивация

Свойства последовательности впервые были изучены Л.Е. Баум и М. Сладкий в 1976 году.[2] В 1949 году Хинчин предположил, что не существует неквадратичного алгебраического действительного числа с ограниченными частными частными в его разложении в непрерывную дробь. Контрпример к этой гипотезе до сих пор не известен.[3][4] Статья Баума и Свита показала, что такое же ожидание не выполняется для алгебраических степенных рядов. Они привели пример кубического степенного ряда в частные частные которых ограничены. (Степень степенного ряда в результате Баума и Свита аналогична степени расширения поля, связанного с алгебраическим вещественным числом в гипотезе Хинчина.)

Одна из серий, рассмотренных в статье Баума и Свита, является корнем

[2][5]

Авторы показывают, что Лемма Гензеля, единственный такой корень в поскольку сокращение определяющего уравнения по модулю дает , которая учитывается как

Они продолжают доказывать, что этот единственный корень имеет частные частные степени . Перед тем как это сделать, они заявляют (в примечании к теореме 2, стр. 598)[2] что корень можно записать в виде

куда и за тогда и только тогда, когда двоичное разложение содержит только блоки четной длины с. Это источник последовательности Баума – Свита.

Мкауар[6] и Яо[7] доказал, что частные непрерывной дроби при выше не образуют автоматической последовательности.[8] Однако последовательность частных частных может быть порождена неоднородным морфизмом.[9]

Характеристики

Последовательность Баума – Свита может быть сгенерирована с помощью 3-состояния автомат.[9]

Значение срока бп в последовательности Баума – Свита можно найти рекурсивно следующим образом. Если п = м·4k, куда м не делится на 4 (или 0), то

Таким образом, b76 = б9 = б4 = б0 = 1, что можно проверить, заметив, что двоичное представление числа 76, равное 1001100, не содержит последовательных блоков нулей нечетной длины.

Слово Баума – Свита 1101100101001001 ..., которое создается объединением членов последовательности Баума – Свита, является фиксированной точкой морфизма или подстановка строк правила

00 0000
01 1001
10 0100
11 1101

следующее:

11 1101 11011001 1101100101001001 11011001010010011001000001001001 ...

Из правил морфизма видно, что слово Баума – Свита содержит блоки последовательных нулей любой длины (бп = 0 для всех 2k целые числа в диапазоне 5,2kп < 6.2k), но он не содержит блока из трех последовательных единиц.

Более лаконично: Маленькая теорема Кобэма слово Баума – Свита можно выразить как кодировку применяется к неподвижной точке равномерного морфизма . Действительно, морфизм

и кодирование

генерировать слово таким образом.[10]

Примечания

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Баум – Сладкая последовательность». MathWorld.
  2. ^ а б c Баум, Леонард Э .; Сладкий, Мелвин М. (1976). «Непрерывные дроби алгебраических степенных рядов в характеристике 2». Анналы математики. 103 (3): 593–610. Дои:10.2307/1970953. JSTOR  1970953.
  3. ^ Вальдшмидт, М. (2009). «Слова и трансцендентность». В W.W.L. Чен; W.T. Gowers; Х. Хальбертштам; W.M. Шмидт; R.C. Воан (ред.). Аналитическая теория чисел: очерки в честь Клауса Рота (PDF). Издательство Кембриджского университета. Раздел 31, с. 449–470.
  4. ^ Хинчин, А. (1964). Непрерывные дроби. Издательство Чикагского университета.
  5. ^ Грэм Эверест, Альф ван дер Пуртен, Игорь Шпарлински, Томас Уорд Повторяющиеся последовательности AMS 2003, стр. 236.
  6. ^ Мкауар, М. (1995). "Sur le développement en Fraction continue de la série de Baum et Sweet". Бык. Soc. Математика. Франция. 123 (3): 361–374. Дои:10.24033 / bsmf.2264.
  7. ^ Яо, Ж.-Й. (1997). «Критерии неавтоматических и других приложений». Acta Arith. 80 (3): 237–248. Дои:10.4064 / aa-80-3-237-248.
  8. ^ Аллуш и Шаллит (2003) с. 210.
  9. ^ а б Allouche, J.-P. (1993). «Конечные автоматы и арифметика». Séminaire Lotharingien de Combinatoire: 23.
  10. ^ Аллуш и Шаллит (2003) с. 176.

Рекомендации