Последовательность Баума – Сладкого - Baum–Sweet sequence
В математика то Последовательность Баума – Сладкого бесконечный автоматическая последовательность нулей и единиц, определенных правилом:
- бп = 1, если двоичное представление п не содержит блока последовательных нулей нечетной длины;
- бп = 0 иначе;
за п ≥ 0.[1]
Например, б4 = 1, потому что двоичное представление 4 равно 100, которое содержит только один блок последовательных нулей длины 2; в то время как б5 = 0, потому что двоичное представление 5 равно 101, которое содержит блок последовательных нулей длины 1.
Начинается с п = 0, первые несколько членов последовательности Баума – Свита:
Историческая мотивация
Свойства последовательности впервые были изучены Л.Е. Баум и М. Сладкий в 1976 году.[2] В 1949 году Хинчин предположил, что не существует неквадратичного алгебраического действительного числа с ограниченными частными частными в его разложении в непрерывную дробь. Контрпример к этой гипотезе до сих пор не известен.[3][4] Статья Баума и Свита показала, что такое же ожидание не выполняется для алгебраических степенных рядов. Они привели пример кубического степенного ряда в частные частные которых ограничены. (Степень степенного ряда в результате Баума и Свита аналогична степени расширения поля, связанного с алгебраическим вещественным числом в гипотезе Хинчина.)
Одна из серий, рассмотренных в статье Баума и Свита, является корнем
Авторы показывают, что Лемма Гензеля, единственный такой корень в поскольку сокращение определяющего уравнения по модулю дает , которая учитывается как
Они продолжают доказывать, что этот единственный корень имеет частные частные степени . Перед тем как это сделать, они заявляют (в примечании к теореме 2, стр. 598)[2] что корень можно записать в виде
куда и за тогда и только тогда, когда двоичное разложение содержит только блоки четной длины с. Это источник последовательности Баума – Свита.
Мкауар[6] и Яо[7] доказал, что частные непрерывной дроби при выше не образуют автоматической последовательности.[8] Однако последовательность частных частных может быть порождена неоднородным морфизмом.[9]
Характеристики
Последовательность Баума – Свита может быть сгенерирована с помощью 3-состояния автомат.[9]
Значение срока бп в последовательности Баума – Свита можно найти рекурсивно следующим образом. Если п = м·4k, куда м не делится на 4 (или 0), то