Уравнение Бенджамина – Бона – Махони - Benjamin–Bona–Mahony equation

Анимация обгона двух уединенные волны согласно уравнению Бенджамина – Бона – Махони (BBM). В высота волны уединенных волн равны 1,2 и 0,6 соответственно, а их ловкость равны 1,4 и 1,2.
Верхний график для точка зрения движутся со средней скоростью уединенных волн. В конверт обгоняющих волн отображается серым цветом: обратите внимание, что максимальная высота волны уменьшается во время взаимодействия.
Нижний график (с другим вертикальным масштабом и в неподвижной системе отсчета) показывает колебательный хвост, произведенный взаимодействием.^[1] Таким образом, уединенные волновые решения уравнения BBM не являются солитоны.

В Уравнение Бенджамина – Бона – Махони (или же Уравнение BBM) - также известный как регуляризованное длинноволновое уравнение (RLWE) - это уравнение в частных производных

{displaystyle u_ {t} + u_ {x} + uu_ {x} -u_ {xxt} = 0.,}

Это уравнение изучалось в Бенджамин, Bona, и Махони (1972 ) как улучшение Уравнение Кортевега – де Фриза (Уравнение КдВ) для моделирования длинных поверхностные гравитационные волны малой амплитуды - распространение однонаправленно в размерах 1 + 1. Они показывают устойчивость и единственность решений уравнения BBM. Это контрастирует с уравнением КдФ, которое нестабильно в своей высокой волновое число составные части. Далее, хотя уравнение КдФ имеет бесконечное число интегралы движения, в уравнении BBM их всего три.^[2]^[3]

Ранее, в 1966 г., это уравнение было введено Сапсан, при изучении волнообразные отверстия.^[4]

Обобщенный п-размерная версия дается^[5]^[6]

{displaystyle u_ {t} -abla ^ {2} u_ {t} + имя оператора {div}, varphi (u) = 0.,}

куда ${displaystyle varphi}$ - достаточно гладкая функция из ${displaystyle mathbb {R}}$ к ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ . Аврин и Гольдштейн (1985) доказали глобальное существование решения во всех измерениях.

Решение уединенной волны

Уравнение BBM обладает уединенная волна решения формы:^[3]

{displaystyle u = 3 {frac {c ^ {2}} {1-c ^ {2}}} имя оператора {sech} ^ {2} {frac {1} {2}} left (cx- {frac {ct} {1-c ^ {2}}} + delta ight),}

где sech - это гиперболический секанс функция и ${displaystyle delta}$ - сдвиг фазы (на начальное смещение по горизонтали). За ${displaystyle | c | <1}$ уединенные волны имеют положительную гребень высота и путешествие в позитиве ${displaystyle x}$ -направление со скоростью ${displaystyle 1 / (1-c ^ {2}).}$ Эти уединенные волны не солитоны, т.е. после взаимодействия с другими уединенными волнами возникает колебательный хвост, и уединенные волны меняются.^[1]^[3]

Гамильтонова структура

Уравнение BBM имеет Гамильтонова структура, так как это можно записать как:^[7]

{displaystyle u_ {t} = - {mathcal {D}} {frac {delta H} {delta u}} ,,}

с гамильтонианом

{displaystyle H = int _ {- infty} ^ {+ infty} left ({frac {1} {2}} u ^ {2} + {frac {1} {6}} u ^ {3} ight), { ext {d}} x,}

и оператор

{displaystyle {mathcal {D}} = left (1-частичное _ {x} ^ {2} ight) ^ {- 1}, частичное _ {x}.}

Здесь ${displaystyle delta H / delta u}$ это вариация гамильтониана ${displaystyle H (u)}$ относительно ${displaystyle u (x),}$ и ${displaystyle partial _ {x}}$ обозначает оператор в частных производных относительно ${displaystyle x.}$

Законы сохранения

Уравнение BBM имеет ровно три независимых и нетривиальных законы сохранения.^[3] Первый ${displaystyle u}$ заменяется на ${displaystyle u = -v-1}$ в уравнении BBM, что приводит к эквивалентному уравнению:

{displaystyle v_ {t} -v_ {xxt} = v, v_ {x}.}

Итак, три закона сохранения:^[3]

{displaystyle {egin {выравнивается} v_ {t} & - left (v_ {xt} + {frac {1} {2}} v ^ {2} ight) _ {x} = 0, left ({frac {1 } {2}} v ^ {2} + {frac {1} {2}} v_ {x} ^ {2} ight) _ {t} & - left (v, v_ {xt} + {frac {1}) {3}} v ^ {3} ight) _ {x} = 0qquad {ext {and}} left ({frac {1} {3}} v ^ {3} ight) _ {t} & + left ( v_ {t} ^ {2} -v_ {xt} ^ {2} -v ^ {2}, v_ {xt} - {frac {1} {4}} v ^ {4} ight) _ {x} = 0.end {выравнивается}}}

Что легко выразить через ${displaystyle u}$ используя ${displaystyle v = -u-1.}$

Линейная дисперсия

Линеаризованная версия уравнения BBM:

{displaystyle u_ {t} + u_ {x} -u_ {xxt} = 0.}

Решения с периодической прогрессивной волной имеют вид:

{displaystyle u = a, mathrm {e} ^ {i (kx-omega t)},}

с ${displaystyle k}$ то волновое число и ${displaystyle omega}$ то угловая частота. В соотношение дисперсии линеаризованного уравнения BBM есть^[2]

{displaystyle omega _ {mathrm {BBM}} = {frac {k} {1 + k ^ {2}}}.}

Аналогично для линеаризованного уравнения КдФ ${displaystyle u_ {t} + u_ {x} + u_ {xxx} = 0}$ соотношение дисперсии:^[2]

{displaystyle omega _ {mathrm {KdV}} = k-k ^ {3}.}

Это становится неограниченным и отрицательным для ${displaystyle k o infty,}$ и то же самое относится к фазовая скорость ${displaystyle omega _ {mathrm {KdV}} / k}$ и групповая скорость ${displaystyle mathrm {d} omega _ {mathrm {KdV}} / mathrm {d} k.}$ Следовательно, уравнение КдФ дает волны, бегущие в отрицательном ${displaystyle x}$ -направление на высокие волновые числа (короткие длины волн ). Это контрастирует с его целью как приближение для однонаправленных волн, распространяющихся в положительном направлении. ${displaystyle x}$ -направление.^[2]

Сильный рост частоты ${displaystyle omega _ {mathrm {KdV}}}$ и фазовая скорость с волновым числом ${displaystyle k}$ поставили задачи при численном решении уравнения КдФ, тогда как уравнение BBM лишено этих недостатков.^[2]

Примечания

^ ^а ^б Бона, Причард и Скотт (1980)
^ ^а ^б ^c ^d ^е Бенджамин, Bona, и Махони (1972 )
^ ^а ^б ^c ^d ^е Олвер (1979)
^ Перегрин (1966)
^ Гольдштейн и Вичноски (1980)
^ Аврин и Гольдштейн (1985)
^ Олвер, П.Дж. (1980), "О гамильтоновой структуре эволюционных уравнений", Математические труды Кембриджского философского общества, 88 (1): 71–88, Bibcode:1980MPCPS..88 ... 71O, Дои:10.1017 / S0305004100057364

Рекомендации

Avrin, J .; Гольдштейн, Дж. (1985), "Глобальное существование уравнения Бенджамина – Бона – Махони в произвольных измерениях", Нелинейный анализ, 9 (8): 861–865, Дои:10.1016 / 0362-546X (85) 90023-9, МИСТЕР 0799889
Бенджамин, Т.; Бона, Дж. Л.; Махони, Дж. Дж. (1972), "Модельные уравнения для длинных волн в нелинейных дисперсионных системах", Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, 272 (1220): 47–78, Bibcode:1972RSPTA.272 ... 47B, Дои:10.1098 / Рста.1972.0032, ISSN 0962-8428, JSTOR 74079
Бона, Дж. Л.; Pritchard, W.G .; Скотт, Л. Р. (1980), "Взаимодействие уединенной волны", Физика жидкостей, 23 (3): 438–441, Bibcode:1980ФФл ... 23..438Б, Дои:10.1063/1.863011
Гольдштейн, Дж.; Вичноски, Б.Дж. (1980), "Об уравнении Бенджамина – Бона – Махони в более высоких измерениях", Нелинейный анализ, 4 (4): 665–675, Дои:10.1016 / 0362-546X (80) 90067-X
Олвер, П. Дж. (1979), «Операторы Эйлера и законы сохранения уравнения BBM», Математические труды Кембриджского философского общества, 85: 143–160, Bibcode:1979MPCPS..85..143O, Дои:10.1017 / S0305004100055572
Перегрин, Д. (1966), «Расчеты развития волнообразного ствола», Журнал гидромеханики, 25 (2): 321–330, Bibcode:1966JFM .... 25..321P, Дои:10.1017 / S0022112066001678
Цвиллинджер, Д. (1998), Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press, стр. 174 и 176, ISBN 978-0-12-784396-4, МИСТЕР 0977062 (Предупреждение: на стр. 174 Цвиллинджер искажает уравнение Бенджамина – Бона – Махони, смешивая его с аналогичным уравнением КдФ.)

[Bona_Pritchard_Scott-1] а ^б Бона, Причард и Скотт (1980)

[BBM1972-2] а ^б ^c ^d ^е Бенджамин, Bona, и Махони (1972 )

[Olver-3] а ^б ^c ^d ^е Олвер (1979)

[4] Перегрин (1966)

[5] Гольдштейн и Вичноски (1980)

[6] Аврин и Гольдштейн (1985)

[7] Олвер, П.Дж. (1980), "О гамильтоновой структуре эволюционных уравнений", Математические труды Кембриджского философского общества, 88 (1): 71–88, Bibcode:1980MPCPS..88 ... 71O, Дои:10.1017 / S0305004100057364

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]