В теория вероятности, Неравенства Бернштейна дают границы вероятности отклонения суммы случайных величин от своего среднего значения. В простейшем случае пусть Икс1, ..., Иксп быть независимым Случайные величины Бернулли принимает значения +1 и -1 с вероятностью 1/2 (это распределение также известно как Распределение Радемахера ), то для каждого положительного ,
1. Пусть быть независимыми случайными величинами с нулевым средним. Предположим, что почти наверняка для всех Тогда при всем положительном ,
2. Пусть быть независимыми случайными величинами с нулевым средним. Предположим, что для некоторого положительного действительного и каждое целое число ,
потом
3. Пусть быть независимыми случайными величинами с нулевым средним. Предположим, что
для всех целых Обозначить
Потом,
4. Бернштейн также доказал обобщения приведенных выше неравенств на слабо зависимые случайные величины. Например, неравенство (2) можно расширить следующим образом. быть возможно не независимыми случайными величинами. Предположим, что для всех целых ,
потом
Более общие результаты для мартингалов можно найти в Fan et al. (2015).[5]
Доказательства
Доказательства основаны на применении Неравенство Маркова к случайной величине
(по: С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений, Наука, 1964 г.)
^С.Н. Бернштейн, "Об одной модификации неравенства Чебышева и формулы погрешности Лапласа", т. 4, № 5 (оригинальная публикация: Ann. Sci. Inst. Sav. Украина, Sect. Math. 1, 1924)
^Бернштейн, С. Н. (1937). "Об определенных модификациях неравенства Чебышева" [О некоторых модификациях неравенства Чебышева]. Доклады Академии Наук СССР. 17 (6): 275–277.
^С. Н. Бернштейн, "Теория вероятностей", М., 1927.
^Дж. В. Успенский, "Введение в математическую вероятность", McGraw-Hill Book Company, 1937 г.