Бета-вейвлет - Beta wavelet

Непрерывные вейвлеты из компактная опора можно построить,^[1] которые связаны с бета-распространение. Процесс выводится из распределений вероятностей с использованием производной размытия. Эти новые вейвлеты имеют только один цикл, поэтому их называют одноколесными вейвлетами. Их можно рассматривать как мягкий сорт из Вейвлеты Хаара форма которого настраивается двумя параметрами ${displaystyle alpha}$ и ${displaystyle eta}$ . Получены закрытые выражения для бета-всплесков и масштабных функций, а также их спектры. Их важность обусловлена Центральная предельная теорема Гнеденко и Колмогорова применили для сигналов с компактным носителем.^[2]

Бета-распределение

В бета-распространение - непрерывное распределение вероятностей, определенное на интервале ${displaystyle 0leq tleq 1}$ . Его характеризует пара параметров, а именно ${displaystyle alpha}$ и ${displaystyle eta}$ согласно с:

${displaystyle P (t) = {frac {1} {B (alpha, eta)}} t ^ {alpha -1} cdot (1-t) ^ {eta -1}, quad 1leq alpha, eta leq + infty}$ .

Нормирующий коэффициент ${displaystyle B (alpha, eta) = {frac {Gamma (alpha) cdot Gamma (eta)} {Gamma (alpha + eta)}}}$ ,

где ${displaystyle Gamma (cdot)}$ - обобщенная факториальная функция Эйлера и ${displaystyle B (cdot, cdot)}$ это бета-функция.^[3]

Возвращение к центральной предельной теореме Гнеденко-Колмогорова

Позволять ${displaystyle p_ {i} (t)}$ - плотность вероятности случайной величины ${displaystyle t_ {i}}$ , ${displaystyle i = 1,2,3..N}$ т.е.

${displaystyle p_ {i} (t) geq 0}$ , ${displaystyle (forall t)}$ и ${displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} p_ {i} (t) dt = 1}$ .

Предположим, что все переменные независимы.

Среднее значение и дисперсия данной случайной величины ${displaystyle t_ {i}}$ соответственно

${displaystyle m_ {i} = int _ {- infty} ^ {+ infty} au cdot p_ {i} (au) d au,}$ ${displaystyle sigma _ {i} ^ {2} = int _ {- infty} ^ {+ infty} (au -m_ {i}) ^ {2} cdot p_ {i} (au) d au}$ .

Среднее значение и дисперсия ${displaystyle t}$ поэтому ${displaystyle m = sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i}}$ и ${displaystyle sigma ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {N} sigma _ {i} ^ {2}}$ .

Плотность ${displaystyle p (t)}$ случайной величины, соответствующей сумме ${displaystyle t = sum _ {i = 1} ^ {N} t_ {i}}$ дается

Центральная предельная теорема для распределений компактного носителя (Гнеденко, Колмогоров).^[2]

Позволять ${displaystyle {p_ {i} (t)}}$ быть такими распределениями, что ${Displaystyle Supp {(p_ {i} (t))} = (a_ {i}, b_ {i}) (forall i)}$ .

Позволять ${displaystyle a = sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} <+ infty}$ , и ${displaystyle b = sum _ {i = 1} ^ {N} b_ {i} <+ infty}$ .

Без ограничения общности предположим, что ${displaystyle a = 0}$ и ${displaystyle b = 1}$ .

Случайная величина ${displaystyle t}$ держится, как ${displaystyle Nightarrow infty}$ , ${displaystyle p (t) приблизительно}$ ${displaystyle {egin {case} {kcdot t ^ {alpha} (1-t) ^ {eta}}, иначеend {case}}}$

где ${displaystyle alpha = {frac {m (m-m ^ {2} -sigma ^ {2})} {sigma ^ {2}}},}$ и ${displaystyle eta = {frac {(1-m) (alpha +1)} {m}}.}$

Бета-вейвлеты

поскольку ${displaystyle P (cdot | alpha, eta)}$ является унимодальным, вейвлет, порожденный

${displaystyle psi _ {beta} (t | alpha, eta) = (- 1) {frac {dP (t | alpha, eta)} {dt}}}$ имеет только один цикл (отрицательный полупериод и положительный полупериод).

Основные особенности бета-вейвлетов параметров ${displaystyle alpha}$ и ${displaystyle eta}$ находятся:

${displaystyle Supp (psi) = [- {sqrt {frac {alpha} {eta}}} {sqrt {alpha + eta +1}}, {sqrt {frac {eta} {alpha}}}} {sqrt {alpha + eta} +1}}] = [a, b].}$

${displaystyle lengthSupp (psi) = T (alpha, eta) = (alpha + eta) {sqrt {frac {alpha + eta +1} {alpha eta}}}.}.}$

Параметр ${displaystyle R = b / | a | = eta / alpha}$ называется «циклическим балансом» и определяется как соотношение между длинами причинной и непричинной частей вейвлета. Момент перехода ${displaystyle t_ {zerocross}}$ от первого до второго полупериода определяется выражением

${displaystyle t_ {zerocross} = {frac {(alpha - eta)} {(alpha + eta -2)}} {sqrt {frac {alpha + eta +1} {alpha eta}}}.}.}$

(Унимодальная) масштабная функция, связанная с вейвлетами, определяется выражением

${displaystyle phi _ {beta} (t | alpha, eta) = {frac {1} {B (alpha, eta) T ^ {alpha + eta -1}}} cdot (ta) ^ {alpha -1} cdot ( bt) ^ {eta -1},}$ ${displaystyle aleq tleq b}$ .

Вывести выражение для бета-вейвлетов первого порядка в закрытой форме легко. В рамках их поддержки

${displaystyle psi _ {beta} (t | alpha, eta) = {frac {-1} {B (alpha, eta) T ^ {alpha + eta -1}}} cdot [{frac {alpha -1} {ta }} - {frac {eta -1} {bt}}] cdot (ta) ^ {alpha -1} cdot (bt) ^ {eta -1}}$

Рисунок. Унициклическая масштабная бета-функция и вейвлет для различных параметров: а) ${displaystyle alpha = 4}$ , ${displaystyle eta = 3}$ б) ${displaystyle alpha = 3}$ , ${displaystyle eta = 7}$ в) ${displaystyle alpha = 5}$ , ${displaystyle eta = 17}$ .

Бета-вейвлет-спектр

Спектр бета-всплеска может быть получен в терминах гипергеометрической функции Куммера.^[4]

Позволять ${displaystyle psi _ {beta} (t | alpha, eta) leftrightarrow Psi _ {BETA} (omega | alpha, eta)}$ обозначают пару преобразования Фурье, связанную с вейвлетом.

Этот спектр также обозначается ${displaystyle Psi _ {BETA} (омега)}$ короче. Применяя свойства преобразования Фурье, можно доказать, что

${displaystyle Psi _ {BETA} (omega) = - jomega cdot M (alpha, alpha + eta, -jomega (alpha + eta) {sqrt {frac {alpha + eta +1} {alpha eta}}}) cdot exp { (jomega {sqrt {frac {alpha (alpha + eta +1)} {eta}}})}}$

где ${displaystyle M (alpha, alpha + eta, ju) = {frac {Gamma (alpha + eta)} {Gamma (alpha) cdot Gamma (eta)}} cdot int _ {0} ^ {1} e ^ {ju t } t ^ {альфа -1} (1-t) ^ {эта -1} dt}$ .

Только симметричный ${displaystyle (alpha = eta)}$ случаи имеют нули в спектре. Несколько асимметричных ${displaystyle (alpha eq eta)}$ бета-вейвлеты показаны на рис. Любопытно, они симметричны по параметрам в том смысле, что ${displaystyle | Psi _ {BETA} (omega | alpha, eta) | = | Psi _ {BETA} (omega | eta, alpha) |.}$

Более высокие производные могут также генерировать дополнительные бета-волны. Бета-вейвлеты более высокого порядка определяются как ${displaystyle psi _ {beta} (t | alpha, eta) = (- 1) ^ {N} {frac {d ^ {N} P (t | alpha, eta)} {dt ^ {N}}}.}.}$

В дальнейшем это называется ${displaystyle N}$ бета-вейвлет порядка. Они существуют для порядка ${displaystyle Nleq Min (alpha, eta) -1}$ . После некоторой алгебраической обработки их выражение в замкнутой форме можно найти:

${displaystyle Psi _ {beta} (t | alpha, eta) = {frac {(-1) ^ {N}} {B (alpha, eta) cdot T ^ {alpha + eta -1}}} сумма _ {n = 0} ^ {N} sgn (2n-N) cdot {frac {Gamma (alpha)} {Gamma (alpha - (Nn))}} (ta) ^ {alpha -1- (Nn)} cdot {frac { Гамма (эта)} {Гамма (эта-n)}} (bt) ^ {эта -1-n}.}$

Рисунок. Величина спектра ${displaystyle Psi _ {BETA} (омега)}$ бета-вейвлетов, ${displaystyle | Psi _ {BETA} (омега альфа, эта) |}$ ${displaystyle imes omega}$ для симметричного бета-вейвлета ${displaystyle alpha = eta = 3}$ , ${displaystyle alpha = eta = 4}$ , ${displaystyle alpha = eta = 5}$

Рисунок. Величина спектра ${displaystyle Psi _ {BETA} (омега)}$ бета-вейвлетов, ${displaystyle | Psi _ {BETA} (омега альфа, эта) |}$ ${displaystyle imes omega}$ для: Асимметричный бета-вейвлет ${displaystyle alpha = 3}$ , ${displaystyle eta = 4}$ , ${displaystyle alpha = 3}$ , ${displaystyle eta = 5}$ .

заявка

Теория вейвлетов применима к нескольким предметам. Все вейвлет-преобразования можно рассматривать как формы частотно-временного представления для (аналоговых) сигналов с непрерывным временем и, таким образом, связаны с гармоническим анализом. Почти все практически полезные дискретные вейвлет-преобразования используют банки дискретных временных фильтров. Аналогично бета-вейвлет^[1]^[5] и его производные используются в нескольких инженерных приложениях реального времени, таких как сжатие изображений^[5], сжатие биомедицинских сигналов,^[6]^[7] распознавание изображений [9]^[8] и т.п.

использованная литература

^ ^а ^б де Оливейра, Элио Магальяйнш; Шмидт, Джованна Ангелис (2005). "Одноциклические вейвлеты с компактной поддержкой, полученные из бета-распределений". Журнал коммуникационных и информационных систем. 20 (3): 27–33. Дои:10.14209 / jcis.2005.17.
^ ^а ^б Гнеденко Борис Владимирович; Колмогоров, Андрей (1954). Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. Ридинг, Ма: Эддисон-Уэсли.
^ Дэвис, Филип Дж. (1968). «Гамма-функция и связанные функции». В Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен (ред.). Справочник по математическим функциям. Нью-Йорк: Дувр. С. 253–294. ISBN 0-486-61272-4.
^ Слейтер, Люси Джоан (1968). «Конфлюэнтная гипергеометрическая функция». В Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен (ред.). Справочник по математическим функциям. Нью-Йорк: Дувр. С. 503–536. ISBN 0-486-61272-4.
^ ^а ^б Бен Амар, Чокри; Заид, Мурад; Алими, Адель М. (2005). "Бета-вейвлеты. Синтез и применение к сжатию изображений с потерями". Достижения в инженерном программном обеспечении. Эльзевир. 36 (7): 459–474. Дои:10.1016 / j.advengsoft.2005.01.013.
^ Кумар, Ранджит; Кумар, Анил; Панди, Раджеш К. (2012). «Сжатие сигнала электрокардиограммы с использованием бета-вейвлетов». Журнал математического моделирования и алгоритмов. Springer Verlag. 11 (3): 235–248. Дои:10.1007 / s10852-012-9181-9.
^ Кумар, Ранджит; Кумар, Анил; Панди, Раджеш К. (2013). «Сжатие сигнала ЭКГ на основе бета-вейвлетов с использованием кодирования без потерь с модифицированным пороговым значением». Компьютеры и электротехника. Эльзевир. 39 (1): 130–140. Дои:10.1016 / j.compeleceng.2012.04.008.
^ Заид, Мурад; Джемаи, Ольфа; Бен Амар, Чокри. «Обучение бета-вейвлет-сетей по теории фреймов: приложение для распознавания лиц». 2008 Первые семинары по теории, инструментам и приложениям обработки изображений. IEEE. Дои:10.1109 / IPTA.2008.4743756. eISSN 2154-512X. ISSN 2154-5111.

дальнейшее чтение

W.B. Давенпорт, Вероятность и случайные процессы, Макгроу-Хилл, Когакуша, Токио, 1970.

внешние ссылки

[joci-compactly-supported-one-cyclic-wavelets-derived-from-beta-distributions-1] а ^б де Оливейра, Элио Магальяйнш; Шмидт, Джованна Ангелис (2005). "Одноциклические вейвлеты с компактной поддержкой, полученные из бета-распределений". Журнал коммуникационных и информационных систем. 20 (3): 27–33. Дои:10.14209 / jcis.2005.17.

[gnedenko-kolmogorov-limit-distributions-2] а ^б Гнеденко Борис Владимирович; Колмогоров, Андрей (1954). Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. Ридинг, Ма: Эддисон-Уэсли.

[abramowitz-stegun-davis-3] Дэвис, Филип Дж. (1968). «Гамма-функция и связанные функции». В Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен (ред.). Справочник по математическим функциям. Нью-Йорк: Дувр. С. 253–294. ISBN 0-486-61272-4.

[abramowitz-stegun-slater-4] Слейтер, Люси Джоан (1968). «Конфлюэнтная гипергеометрическая функция». В Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен (ред.). Справочник по математическим функциям. Нью-Йорк: Дувр. С. 503–536. ISBN 0-486-61272-4.

[beta-wavelets-synthesis-application-5] а ^б Бен Амар, Чокри; Заид, Мурад; Алими, Адель М. (2005). "Бета-вейвлеты. Синтез и применение к сжатию изображений с потерями". Достижения в инженерном программном обеспечении. Эльзевир. 36 (7): 459–474. Дои:10.1016 / j.advengsoft.2005.01.013.

[jmma-electrocardiogram-signal-compression-6] Кумар, Ранджит; Кумар, Анил; Панди, Раджеш К. (2012). «Сжатие сигнала электрокардиограммы с использованием бета-вейвлетов». Журнал математического моделирования и алгоритмов. Springer Verlag. 11 (3): 235–248. Дои:10.1007 / s10852-012-9181-9.

[cee-beta-wavelet-based-ecg-signal-compression-7] Кумар, Ранджит; Кумар, Анил; Панди, Раджеш К. (2013). «Сжатие сигнала ЭКГ на основе бета-вейвлетов с использованием кодирования без потерь с модифицированным пороговым значением». Компьютеры и электротехника. Эльзевир. 39 (1): 130–140. Дои:10.1016 / j.compeleceng.2012.04.008.

[ix-conf-paper-8] Заид, Мурад; Джемаи, Ольфа; Бен Амар, Чокри. «Обучение бета-вейвлет-сетей по теории фреймов: приложение для распознавания лиц». 2008 Первые семинары по теории, инструментам и приложениям обработки изображений. IEEE. Дои:10.1109 / IPTA.2008.4743756. eISSN 2154-512X. ISSN 2154-5111.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]