Решетка Бете - Википедия - Bethe lattice

Решетка Бете с координационным числом z = 3

А Решетка Бете, представлен Ганс Бете в 1935 году - бесконечный связный безцикловый граф где все вершины имеют одинаковую валентность. Т.е. каждый узел подключен к z соседи; z называется координационный номер. С одним узлом, выбранным в качестве корневого, все остальные узлы расположены в виде оболочек вокруг этого корневого узла, который затем также называется началом решетки. Количество узлов в k-я оболочка задается

${ displaystyle , N_ {k} = z (z-1) ^ {k-1} { text {for}} k> 0.}$

(Обратите внимание, что решетка Бете на самом деле неукорененный дерево, поскольку любая вершина будет одинаково хорошо служить корнем.)

В некоторых ситуациях определение изменяется, чтобы указать, что корневой узел имеет z - 1 соседи.^{[нужна цитата ]}

Благодаря своей отличительной топологической структуре статистическая механика из решетчатые модели на этом графе часто точно решаются. Решения относятся к часто используемым Приближение Бете для этих систем.

Связь с графами Кэли и деревьями Кэли

Решетка Бете, где каждый узел соединен с 2п другие по сути Граф Кэли из свободная группа на п генераторы. Это бесконечное дерево Кэли.

Презентация группы грамм к п генераторы соответствует сюръективный карта из бесплатной группы на п генераторы в группу ГРАММ, а на уровне графов Кэли - в отображение решетки Бете (с выделенным корнем, соответствующим единице) в граф Кэли. Это также можно интерпретировать (в алгебраическая топология ) как универсальный чехол графа Кэли, который, вообще говоря, односвязный.

Решетка Бете определяется ее координационным числом. Это некорневое дерево, поскольку все вершины идентичны, с z соседи. У него также нет поверхности, поскольку он простирается до бесконечности. С другой стороны, дерево Кэли имеет корень и весьма значительную поверхность.

Корень дерева Кэли, как и все его узлы, кроме листьев, имеет валентность. z (листья имеют валентность 1). У бесконечного дерева Кэли нет листьев, поэтому все его узлы имеют валентность. z. Определить возможность подключения узла как количество связанных с ним ребер. Поскольку нет собственных ребер и не более одного ребра, соединяющего любые два узла, это то же самое, что и количество различных узлов, с которыми оно соединено ребром. Таким образом, для (конечного) дерева Кэли средняя связность c узла такая же, как и его средняя степень, т.е.

${ displaystyle , c = { frac {2E} {V}} = { frac {2 (V-1)} {V}} = 2 - { frac {2} {V}};}$

тогда как средняя связность решетки Бете (бесконечное дерево Кэли) просто z.

Решетки в группах Ли

Решетки Бете также встречаются как дискретные подгруппы некоторых гиперболических Группы Ли, такой как Фуксовы группы. По сути, они также являются решетками в смысле решетка в группе Ли.

Смотрите также

• Кристалл

Рекомендации

• Бете, Х.А. (1935). «Статистическая теория сверхрешеток». Proc. Рой. Soc. Лондон. А. 150: 552–575. Bibcode:1935RSPSA.150..552B. Дои:10.1098 / rspa.1935.0122. Zbl  0012.04501.
• Бакстер, Родни Дж. (1982). Точно решаемые модели в статистической механике. Академическая пресса. ISBN  0-12-083182-1. Zbl  0538.60093.
• Остилли, М. (2012). «Деревья Кэли и решетки Бете, краткий анализ для математиков и физиков». Physica A. 391: 3417. arXiv:1109.6725. Bibcode:2012PhyA..391.3417O. Дои:10.1016 / j.physa.2012.01.038.