Модель двоичного ответа с непрерывными эндогенными независимыми переменными - Binary response model with continuous endogenous explanatory variables

Было предложено, чтобы эта статья была слился с Оценка инструментальных переменных # Методы обобщенных линейных моделей к Функция управления (эконометрика). (Обсуждать) Предлагается с августа 2020 года.

Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом. Пожалуйста помоги улучшить статью к обеспечение большего контекста для читателя. (Декабрь 2015 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Учитывая пробит модель ^[1] у = 1 [у *> 0] куда у * = х₁ β + zδ + u и u ∼ N (0,1), не теряя общности, z можно представить как г = х₁ θ₁ + х₂ θ₂ + v. Когда ты коррелирует с v, будет проблема эндогенность. Это может быть вызвано пропущенными переменными и погрешности измерения.^[2] Также есть много случаев, когда z частично определяется y и возникает проблема эндогенности. Например, в модели, оценивающей влияние различных характеристик пациента на их выбор обращения в больницу, y это выбор и z Это количество лекарства, которое приняла респондент, то очень интуитивно понятно, что чем чаще респондент обращается в больницу, тем более вероятно, что она приняла больше лекарства, поэтому возникает проблема эндогенности.^[3] Когда есть эндогенные независимые переменные, оценка, сгенерированная обычной процедурой оценки, будет непоследовательной, тогда соответствующий расчетный средний частичный эффект (APE) ^[4] тоже будет непоследовательным.

Для решения этой проблемы обычно используются две разные процедуры оценки для генерации последовательные оценки. В предположении нормальности v ~ N (0, σ²), u = ρv + ε должен держаться, где р = cov (u, v) / σ² и ε ~ N (0,1-ρ² σ²). Тогда уравнение для y^* можно переписать как y^* = х₁ β + zδ + ρv + ε.

Эту модель можно последовательно оценить следующим образом: 2-этапный метод наименьших квадратов (2SLS):

1) Регресс z на (Икс₁, Икс₂) и получим непротиворечивую оценку ${ displaystyle { widehat { theta}}}$ а остаточный ${ displaystyle { hat {v}}}$ ;

2) Оцените модель бинарного отклика на (Икс₁, z, ${ displaystyle { hat {v}}}$) и получить согласованную оценку для масштабированных коэффициентов (β_ρσ, δ_ρσ, ρ_ρσ) ≡ (β, δ, ρ) /√1 - ρ² σ²;

потом (у = 1│x, z) = Φ (x₁ ${ displaystyle { hat { beta}}}$_ρσ + z${ displaystyle { hat { delta}}}$_ρσ + ${ displaystyle { hat { rho}}}$_ρσ${ displaystyle { hat {v}}}$). Поскольку APE переменной ${ displaystyle { tilde {w}}}$ в (${ displaystyle { tilde {x}}}$,${ displaystyle { tilde {z}}}$) дан кем-то

E_v ${ displaystyle [{ frac { partial phi (x_ {1} beta _ { rho sigma} + z delta _ { rho sigma} + rho _ { rho sigma} v)} { partial { tilde {w}}}} | _ {(} { tilde {x}}}$,${ displaystyle { tilde {z}}}$)]

По закону большого числа последовательная оценка задается как

${ displaystyle { frac {1} {N}}}$${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {п}}$${ displaystyle { frac { partial phi (x_ {1} { hat { beta}} _ { rho sigma} + z { hat { delta}}} _ { rho sigma} + { hat { rho}} _ { rho sigma} { hat {v}} _ {i})} { partial { tilde {w}}}} | _ {(} { tilde {x} }}$,${ displaystyle { tilde {z}}}$)

Эту модель также можно непротиворечиво оценить с помощью условных Метод максимального правдоподобия.^[5] Потому что P (y, z│x) = P (y│z, x) P (z | x) куда P (y│x, z) дан кем-то

${ Displaystyle [ фи ({ гидроразрыва {х_ {1} ( бета - ро тета _ {1}) - х_ {2} ро тета _ {2} + z ( дельта + ро)) } { sqrt {(1- rho ^ {2} sigma ^ {2}}}})] ^ {y}}$ ${ Displaystyle [1- phi ({ гидроразрыва {x_ {1} ( beta - rho theta _ {1}) - x_ {2} rho theta _ {2} + z ( delta + rho)} { sqrt {(1- rho ^ {2} sigma ^ {2}}}})] ^ {1-y}}$

и P (z│x) дан кем-то ${ displaystyle phi ({ гидроразрыва {z-x_ {1} theta _ {1} -x_ {2} theta _ {2}} { sigma}})}$

Тогда функция логарифмического правдоподобия для максимизации определяется следующим образом:

${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {п}}$ ${ Displaystyle у_ {я} журнал [ фи ({ гидроразрыва {х_ {1} я ( бета - ро тета _ {1}) - х_ {2} я ро тета _ {2} + z_ {i} ( delta + rho)} { sqrt {(1- rho ^ {2} sigma ^ {2}}}})]}$

${ Displaystyle + (1-Y_ {я}) журнал [1- phi ({ гидроразрыва {x_ {1} я ( бета - rho theta _ {1}) - x_ {2} я rho theta _ {2} + z_ {i} ( delta + rho)} { sqrt {(1- rho ^ {2} sigma ^ {2}}}})]}$

${ displaystyle + log [ phi ({ гидроразрыва {z-x_ {1} theta _ {1} -x_ {2} theta _ {2}} { sigma}})]}$

Однажды последовательные оценки получены APE, можно рассчитать, используя ту же процедуру, что и выше. Все вышеприведенное обсуждение в основном касается пробит модель. При изменении предположения о распределении сохраняется та же логика.

Рекомендации