Теорема Бони – Брезиса - Википедия - Bony–Brezis theorem

В математика, то Теорема Бони – Брезиса, благодаря французским математикам Жан-Мишель Бони и Хаим Брезис, дает необходимо и достаточно условия для замкнутого подмножества многообразие быть инвариантным относительно поток определяется векторное поле, а именно в каждой точке замкнутого множества векторное поле должно иметь неположительный внутренний продукт с любым вектор внешней нормали к набору. Вектор - это внешний нормальный в точке замкнутого множества, если существует вещественнозначная непрерывно дифференцируемая функция, локально максимизированная в точке с этим вектором в качестве производной в этой точке. Если замкнутое подмножество является гладким подмногообразием с краем, условие гласит, что векторное поле не должно выходить за пределы подмножества в граничные точки. Обобщение на негладкие подмножества важно в теории уравнения в частных производных.

Теорема была открыта ранее Митио Нагумо в 1942 году и также известен как Теорема нагумо.[1]

Заявление

Позволять F быть замкнутым подмножеством C2 многообразие M и разреши Икс быть векторное поле на M который Липшицева непрерывная. Следующие условия эквивалентны:

  • Любой интегральная кривая из Икс начиная с F остается в F.
  • (Икс(м),v) ≤ 0 для любого вектора внешней нормали v в какой-то момент м в F.

Доказательство

Следующий Хёрмандер (1983), чтобы доказать, что из первого условия следует второе, пусть c(т) - интегральная кривая сc(0) = Икс в F и dc / dt= Икс(c). Позволять грамм иметь локальный максимум на F в Икс. потом грамм(c(т)) ≤ грамм (c(0)) для т маленький и позитивный. Дифференцируя, это означает, что грамм '(Икс)⋅Икс(Икс) ≤ 0.

Чтобы доказать обратную импликацию, поскольку результат локален, достаточно проверить его в рп. В таком случае Икс локально удовлетворяет условию Липшица

Если F замкнута, функция расстояния D(Икс) = d(Икс,F)2 обладает следующим свойством дифференцируемости:

где минимум берется по ближайшим точкам z к Икс в F.

Чтобы это проверить, пусть
где минимум берется за z в F такой, что d(Икс,z) ≤ d(Икс,F) + ε.
С жε однороден в час и равномерно увеличивается до ж0 на любой сфере,
с постоянным C(ε) стремится к 0, когда ε стремится к 0.
Это свойство дифференцируемости следует из этого, поскольку
и аналогично, если |час| ≤ ε

Из свойства дифференцируемости следует, что

минимизирован по ближайшим точкам z к c(т). Для любого такого z

Поскольку - |уc(т)|2 имеет локальный максимум на F в у = z, c(т) − z вектор внешней нормали в точке z. Итак, первый член в правой части неотрицателен. Условие Липшица для Икс следует, что второй член ограничен сверху числом 2CD(c(т)). Таким образом производная справа из

неположительна, поэтому это невозрастающая функция от т. Таким образом, если c(0) лежит в F, D(c(0)) = 0 и, следовательно, D(c(т)) = 0 для т > 0, т.е. c(т) лежит в F за т > 0.

Рекомендации

  1. ^ Бланкини, Франко (1999), "Обзорный доклад: множественная инвариантность в управлении", Automatica, 35 (11): 1747–1767, Дои:10.1016 / S0005-1098 (99) 00113-2

Литература