Теорема Каристи о неподвижной точке - Caristi fixed-point theorem

В математика, то Теорема Каристи о неподвижной точке (также известный как Теорема Каристи – Кирка о неподвижной точке) обобщает Теорема Банаха о неподвижной точке для карт полный метрическое пространство в себя. Теорема Каристи о неподвижной точке изменяет ε-вариационный принцип Ekeland (1974, 1979).[1][2] Заключение теоремы Каристи эквивалентно метрической полноте, как доказал Вестон (1977).[3] Оригинальный результат принадлежит математикам Джеймс Каристи и Уильям Артур Кирк.[4]

Теорема Каристи о неподвижной точке может применяться для получения других классических результатов о неподвижной точке, а также для доказательства существования ограниченных решений функциональное уравнение.[5]

Формулировка теоремы

Позволять (Икс, d) - полное метрическое пространство. Позволять Т : Икс → Икс и ж : Икс → [0, + ∞) быть полунепрерывный снизу функция от Икс в неотрицательный действительные числа. Предположим, что для всех точек Икс в Икс,

потом Т имеет фиксированную точку в Икс, т.е. точка Икс0 такой, что Т(Икс0) = Икс0. Доказательство этого результата использует Лемма Цорна чтобы гарантировать существование минимальный элемент которая оказывается желаемой фиксированной точкой.[6]

Рекомендации

  1. ^ Экеланд, Ивар (1974). «По вариационному принципу». J. Math. Анальный. Приложение. 47 (2): 324–353. Дои:10.1016 / 0022-247X (74) 90025-0. ISSN  0022-247X.
  2. ^ Экеланд, Ивар (1979). «Задачи невыпуклой минимизации». Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 1 (3): 443–474. Дои:10.1090 / S0273-0979-1979-14595-6. ISSN  0002-9904.
  3. ^ Уэстон, Дж. Д. (1977). «Характеристика метрической полноты». Proc. Амер. Математика. Soc. 64 (1): 186–188. Дои:10.2307/2041008. ISSN  0002-9939. JSTOR  2041008.
  4. ^ Каристи, Джеймс (1976). «Теоремы о неподвижной точке для отображений, удовлетворяющих условиям внутреннего состояния». Пер. Амер. Математика. Soc. 215: 241–251. Дои:10.2307/1999724. ISSN  0002-9947. JSTOR  1999724.
  5. ^ Ходжастех, Фаршид; Карапинар, Эрдал; Хандани, Хасан (27 января 2016 г.). «Некоторые приложения теоремы Каристи о неподвижной точке в метрических пространствах». Теория фиксированной точки и приложения. Дои:10.1186 / s13663-016-0501-z.
  6. ^ Dhompongsa, S .; Кумам, П. (2021). «Замечание о теореме Каристи о неподвижной точке и теореме Брауэра о неподвижной точке». В Крейнович, В. (ред.). Статистические и нечеткие подходы к обработке данных с приложениями к эконометрике и другим областям. Берлин: Springer. С. 93–99. Дои:10.1007/978-3-030-45619-1_7. ISBN  978-3-030-45618-4.