Модель бесклеточного маргинального слоя - Cell-free marginal layer model

В малых капилляр гемодинамика бесклеточный слой представляет собой пристенный слой плазма отсутствует красные кровяные клетки поскольку они подлежат миграции в капилляр центр в Поток Пуазейля.^[1] Модель бесклеточного маргинального слоя это математическая модель который пытается объяснить Эффект Фарнюса – Линдквиста математически.

Математическое моделирование

Основные уравнения

Рассматривать постоянный поток из кровь через капилляр из радиус ${ displaystyle R}$ . В капилляр поперечное сечение можно разделить на основной регион и бесклеточный плазма область у стены. Основные уравнения для обеих областей могут быть заданы следующими уравнениями:^[2]

{ displaystyle { frac {- Delta P} {L}} = { frac {1} {r}} { frac {d} {dr}} ( mu _ {c} r { frac {du_ {c}} {dr}});}

{ Displaystyle 0 Leq R Leq R- delta ,}

{ displaystyle { frac {- Delta P} {L}} = { frac {1} {r}} { frac {d} {dr}} ( mu _ {p} r { frac {du_ {p}} {dr}});}

{ Displaystyle R- дельта Leq г Leq R ,}

куда:

{ displaystyle Delta P}

это падение давления через капилляр

{ displaystyle L}

это длина капилляра

{ displaystyle u_ {c}}

является скорость в основном регионе

{ displaystyle u_ {p}}

является скорость плазмы в бесклеточной области

{ displaystyle mu _ {c}}

является вязкость в основном регионе

{ displaystyle mu _ {p}}

является вязкость плазмы в бесклеточной области

{ displaystyle delta}

бесклеточный плазма толщина слоя

Граничные условия

В граничные условия чтобы получить решение для двух дифференциальные уравнения представленные выше, заключаются в том, что градиент скорости равен нулю в центре трубы, скольжение по стенке трубы не происходит и скорость и напряжение сдвига непрерывны на интерфейс между двумя зонами. Эти граничные условия математически можно выразить как:

${ displaystyle left. { frac {du_ {c}} {dr}} right | _ {r = 0} = 0}$
${ displaystyle left.u_ {p} right | _ {r = R} = 0}$
${ displaystyle left.u_ {p} right | _ {r = R- delta} = left.u_ {c} right | _ {r = R- delta}}$
${ displaystyle left. tau _ {p} right | _ {r = R- delta} = left. tau _ {c} right | _ {r = R- delta}}$

Профили скорости

Интегрируя основные уравнения относительно р и применение описанных выше граничных условий приведет к:

{ displaystyle u_ {c} = { frac { Delta PR ^ {2}} {4 mu _ {p} L}} [1 - ({ frac {R- delta} {R}}) ^ {2} - { frac { mu _ {p}} { mu _ {c}}} ({ frac {r} {R}}) ^ {2} + { frac { mu _ {p }} { mu _ {c}}} ({ frac {R- delta} {R}}) ^ {2}]}

{ displaystyle u_ {p} = { frac { Delta PR ^ {2}} {4 mu _ {p} L}} [1 - ({ frac {r} {R}}) ^ {2} ]}

Объемный расход для бесклеточных и сердцевинных областей

${ displaystyle Q_ {p} = int limits _ {R- delta} ^ {R} 2 pi * u_ {p} rdr = { frac { pi Delta P} {8u_ {p}}} (R ^ {2} - (R- delta) ^ {2}) ^ {2}}$

${ Displaystyle Q_ {c} = int limits _ {0} ^ {R- delta} 2 pi * u_ {c} rdr = { frac { pi Delta P * (R- delta) ^ {2}} {8}} [{ frac {(R- delta) ^ {2}} {u_ {c}}} + { frac {2 (R ^ {2} - (R- delta) ^ {2})} {8u_ {p}}}]}$

Всего объемный расход представляет собой алгебраическую сумму расходов в активной зоне и плазменной области. Выражение для суммы объемный расход можно записать как:

{ displaystyle Q = Q_ {c} + Q_ {p} = { frac { pi Delta PR ^ {4}} {8 mu _ {p} L}} [1- (1 - { frac { delta} {R}}) ^ {4} (1 - { frac { mu _ {p}} { mu _ {c}}})]}

Сравнение с вязкость что применяется в Поток Пуазейля дает эффективный вязкость, ${ displaystyle mu _ {e}}$ так как:

{ displaystyle mu _ {e} = { frac { mu _ {p}} {[1- (1 - { frac { delta} {R}}) ^ {4} (1 - { frac { mu _ {p}} { mu _ {c}}})]}}}

Это может быть реализовано, когда радиус кровеносный сосуд намного больше толщины бесклеточного плазма слой, эффективный вязкость равно навалом вязкость крови ${ displaystyle mu _ {c}}$ при высоких скоростях сдвига (ньютоновская жидкость).