Плотность носителей заряда - Википедия - Charge carrier density

Плотность носителей заряда, также известный как концентрация носителя, обозначает количество носители заряда в за объем. В Единицы СИ, измеряется в м⁻³. Как и любой плотность, в принципе это может зависеть от позиции. Однако обычно концентрация носителя указывается в виде одного числа и представляет собой среднюю плотность носителя по всему материалу.

Плотность носителей заряда включает уравнения, касающиеся электрическая проводимость и связанные с ним явления, такие как теплопроводность.

Расчет

Плотность носителей обычно получается теоретически интеграция то плотность состояний в диапазоне энергий носителей заряда в материале (например, интегрирование по зоне проводимости для электронов, интегрирование по валентной зоне для дырок).

Если общее количество носителей заряда известно, их плотность можно найти простым делением на объем. Чтобы показать это математически, плотность носителей заряда плотность частиц, так интеграция это по объему ${ displaystyle V}$ дает количество носителей заряда ${ displaystyle N}$ в том объеме

${ Displaystyle N = int _ {V} п ( mathbf {r}) , mathrm {d} V}$.

куда

${ Displaystyle п ( mathbf {r})}$ - позиционно-зависимая плотность носителей заряда.

Если плотность не зависит от положения, а вместо этого равна постоянной ${ displaystyle n_ {0}}$ это уравнение упрощается до

${ displaystyle N = V cdot n_ {0}}$.

Полупроводники

Плотность носителей важна для полупроводники, где это важная величина для процесса химический допинг. С помощью ленточная теория, электронная плотность,${ displaystyle n_ {0}}$ - количество электронов в единице объема в зоне проводимости. Для дырок, ${ displaystyle p_ {0}}$ - количество дырок в валентной зоне в единице объема. Чтобы вычислить это число для электронов, мы начнем с идеи, что полная плотность электронов в зоне проводимости ${ displaystyle n_ {0}}$, просто складывает плотность электронов проводимости по разным энергиям в зоне, начиная с нижней части зоны ${ displaystyle E_ {c}}$ на вершину группы ${ displaystyle E_ {top}}$.

${ displaystyle n_ {0} = int limits _ {E_ {c}} ^ {E_ {top}} N (E) dE}$

Поскольку электроны фермионы, плотность электронов проводимости при любой конкретной энергии,${ Displaystyle N (E)}$ продукт плотность состояний,${ displaystyle g (E)}$ или сколько состояний проводимости возможно, с Распределение Ферми-Дирака,${ displaystyle f (E)}$ что говорит нам о той части состояний, в ″ которых ″ будут фактически находиться электроны.

${ Displaystyle N (E) = г (E) f (E)}$

Чтобы упростить расчет, вместо того, чтобы рассматривать электроны как фермионы, в соответствии с распределением Ферми-Дирака, мы вместо этого рассматриваем их как классический невзаимодействующий газ, который определяется формулой Распределение Максвелла – Больцмана. Это приближение оказывает незначительное влияние, когда величина ${ displaystyle | E-E_ {f} | gg k_ {B} T}$, что справедливо для полупроводников при комнатной температуре. Это приближение неверно при очень низких температурах или чрезвычайно малой ширине запрещенной зоны.

${ displaystyle f (E) = { frac {1} {1 + e ^ { frac {E-E_ {f}} {kT}}}} приблизительно e ^ { frac {- (E-E_ { f})} {k_ {B} T}}}$

Трехмерный плотность состояний является:

${ displaystyle g (E) = { frac {1} {2 pi ^ {2}}} left ({ frac {2m ^ {*}} { hbar ^ {2}}} right) ^ { frac {3} {2}} { sqrt {E-E_ {0}}}}$

После объединения и упрощения эти выражения приводят к:

${ displaystyle n_ {0} = 2 left ({ frac {m ^ {*} k_ {B} T} {2 pi hbar ^ {2}}} right) ^ {3/2}}$${ displaystyle e ^ { frac {- (E_ {c} -E_ {f})} {k_ {B} T}}}$

Аналогичное выражение можно получить для отверстий. Концентрацию носителей можно рассчитать, рассматривая электроны, движущиеся вперед и назад через запрещенная зона точно так же, как равновесие обратимая реакция от химии, что привело к закон об электронных массах. Закон действия масс определяет величину ${ displaystyle n_ {i}}$ называется собственной концентрацией носителей, которая для нелегированных материалов:

${ displaystyle n_ {i} = n_ {0} = p_ {0}}$

В следующей таблице перечислены несколько значений собственной концентрации носителей для собственные полупроводники.

Эти концентрации носителей изменятся, если эти материалы будут легированы. Например, легирование чистого кремния небольшим количеством фосфора увеличит плотность носителей электронов n. Тогда, поскольку n> p, легированный кремний будет n-типа внешний полупроводник. Легирование чистого кремния небольшим количеством бора увеличит плотность носителей дырок, так что тогда p> n, и это будет примесный полупроводник p-типа.

Металлы

Плотность носителей также применима к металлы, где его можно вычислить из простых Модель Друде. В этом случае плотность носителей (в данном контексте также называемая плотностью свободных электронов) может быть рассчитана следующим образом:^[4]

${ displaystyle n = { frac {N_ {A} Z rho _ {m}} {m_ {a}}}}$

Где ${ displaystyle N_ {A}}$ это Константа Авогадро, Z - количество валентные электроны, ${ displaystyle rho _ {m}}$ - плотность материала, а ${ displaystyle m_ {a}}$ это атомная масса.

Измерение

Плотность носителей заряда во многих случаях можно определить с помощью эффект Холла,^[5] напряжение которого обратно пропорционально плотности носителей.

Рекомендации