Теорема Ченга – Маркса - Википедия - Cheung–Marks theorem

В теория информации, то Теорема Ченга – Маркса,[1] имени К. Ф. Ченга и Роберт Дж. Маркс II, определяет условия[2] где восстановление сигнал посредством теорема выборки может стать некорректно. Он предлагает условия, при которых "ошибка реконструкции с неограниченным отклонение [результаты], когда к выборкам добавляется шум с ограниченной дисперсией ".[3]

Фон

В теореме выборки неопределенность интерполяции, измеренная дисперсией шума, такая же, как неопределенность данных выборки, когда шум i.i.d.[4] В своей классической статье 1948 г. теория информации, Клод Шеннон предложил следующее обобщение теоремы выборки:[5]

2TW числа, используемые для определения функции, не обязательно должны быть одинаковыми пробелами, использованными выше. Например, выборки могут быть расположены неравномерно, хотя, если имеется значительная группировка, выборки должны быть известны очень точно, чтобы обеспечить хорошее восстановление функции. Процесс реконструкции также более сложен с неравными интервалами. Далее можно показать, что значение функции и ее производной в любой другой точке выборки является достаточным. Значение, а также первая и вторая производные в каждой третьей точке выборки дают еще разный набор параметров, которые однозначно определяют функцию. Вообще говоря, любой набор из 2TW независимые числа, связанные с функцией, могут использоваться для ее описания.

Хотя это и верно в отсутствие шума, многие из предложенных Шенноном расширений становятся некорректно. Произвольно малое количество шума в данных делает восстановление нестабильным. Такие расширения выборки бесполезны на практике, поскольку шум выборки, такой как шум квантования, исключает стабильную интерполяцию и, следовательно, любое практическое использование.

Пример

Предложение Шеннона об одновременной выборке сигнала и его производной на половине частоты Найквиста приводит к хорошей интерполяции.[6] Теорема Ченга – Маркса неожиданно показывает, что чередование выборок сигнала и производной делает проблему восстановления некорректной.[1][2]

Теорема также показывает, что чувствительность увеличивается с увеличением порядка производной.[7]

Теорема

Как правило, теорема Ченга – Маркса показывает, что теорема выборки становится некорректной, когда область (интеграл ) квадрата величины функция интерполяции за все время не конечно.[1][2]«Хотя обобщенная концепция выборки относительно проста, реконструкция не всегда возможна из-за потенциальной нестабильности».[8]

Рекомендации

  1. ^ а б c Дж. Л. Браун и С. Д. Кабрера, «О корректности расширения обобщенной выборки Папулиса», IEEE Transactions on Circuits and Systems, May 1991 Volume: 38, Issue 5, pp. 554–556
  2. ^ а б c К.Ф. Чунг и Р. Дж. Маркс II, "Некорректные теоремы выборки", IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. CAS-32, стр. 829–835 (1985).
  3. ^ Д. Зайднер, "Расширение векторной выборки", IEEE Transactions on Signal Processing. v. 48. no. 5. 2000. с. 1401–1416.
  4. ^ R.C. Брейсвелл, В Преобразование Фурье и его приложения, Макгроу Хилл (1968)
  5. ^ Клод Э. Шеннон, «Общение в присутствии шума», Proc. Институт Радиоинженеров, т. 37, № 1, стр. 10–21, январь 1949 г. Перепечатайте как классическую бумагу на: Proc. IEEE, Vol. 86, No. 2, (февраль 1998 г.)
  6. ^ Афанасиос Папулис, Анализ сигналов, Компании McGraw-Hill (май 1977 г.)
  7. ^ Unser, M .; Zerubia, J. (1997). «Обобщенная выборка: анализ стабильности и производительности». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 45 (12): 2941–2950. Дои:10.1109/78.650255.
  8. ^ М. Унсер, «Выборка - 50 лет после Шеннона», Труды IEEE, том 88, выпуск 4, стр. 569–587, апрель 2000 г.