Последовательность выбора - Choice sequence

В интуиционистская математика, а последовательность выбора это конструктивный формулировка последовательность. Поскольку интуиционистская математическая школа, сформулированная Л. Э. Дж. Брауэр, отвергает идею завершенная бесконечность, чтобы использовать последовательность (которая в классической математике представляет собой бесконечный объект), мы должны иметь формулировку конечного конструктивного объекта, который может служить той же цели, что и последовательность. Таким образом, Брауэр сформулировал последовательность выбора, которая дана как конструкция, а не как абстрактный бесконечный объект.

Законные и беззаконные последовательности

Различают беззаконный и законопослушный последовательности. А законопослушный Последовательность может быть описана полностью - это законченная конструкция, которую можно полностью описать. Например, натуральные числа ${displaystyle mathbb {N}}$ можно рассматривать как закономерную последовательность: последовательность может быть полностью конструктивно описана единственным элементом 0 и функция преемника. Учитывая эту формулировку, мы знаем, что ${displaystyle i}$-м элементом в последовательности натуральных чисел будет число ${displaystyle i-1}$. Аналогично функция ${displaystyle f: mathbb {N} mapsto mathbb {N}}$ преобразование натуральных чисел в натуральные числа эффективно определяет значение любого принимаемого аргумента и, таким образом, описывает закономерную последовательность.

А беззаконный (также, свободный) последовательность, с другой стороны, не предопределена. Это следует рассматривать как процедуру генерации значений для аргументов 0, 1, 2, .... То есть незаконную последовательность ${displaystyle alpha}$ это процедура для генерации ${displaystyle alpha _ {0}}$, ${displaystyle alpha _ {1}}$, ... (элементы последовательности ${displaystyle alpha}$) такой, что:

• В любой момент построения последовательности ${displaystyle alpha}$, известен только начальный сегмент последовательности, и никаких ограничений на будущие значения ${displaystyle alpha}$; и
• Можно заранее указать начальный отрезок ${displaystyle langle alpha _ {0}, alpha _ {1}, ldots, alpha _ {k} angle}$ из ${displaystyle alpha}$.

Обратите внимание, что первый пункт выше немного вводит в заблуждение, поскольку мы можем указать, например, что значения в последовательности извлекаются исключительно из набора натуральных чисел - мы можем указать, априори, диапазон последовательности.

Каноническим примером беззаконной последовательности является серия бросков умри. Мы указываем, какой кристалл использовать и, при желании, заранее указываем значения первого ${displaystyle k}$ роллы (для ${displaystyle kin mathbb {N}}$). Далее мы ограничиваем значения последовательности нахождением в множестве ${displaystyle {1,2,3,4,5,6}}$. Эта спецификация содержит процедуру создания рассматриваемой незаконной последовательности. Следовательно, какое-либо конкретное будущее значение последовательности неизвестно.

Аксиоматизация

Есть два аксиомы в частности, что мы ожидаем соблюдения последовательности выбора, как описано выше. Позволять ${displaystyle alpha in n}$ обозначим отношение "последовательность ${displaystyle alpha}$ начинается с начальной последовательности ${displaystyle n}$"для выбора последовательности ${displaystyle alpha}$ и конечный отрезок ${displaystyle n}$ (более конкретно, ${displaystyle n}$ вероятно будет целым числом кодирование конечная начальная последовательность).

Мы ожидаем следующего, называемого аксиома открытых данных, чтобы удерживать все беззаконные последовательности:

${displaystyle A (alpha) ightarrow существует n [alpha in n, land, forall eta in n [A (eta)]]}$

где ${displaystyle A}$ это одноместный предикат. Интуитивное обоснование этой аксиомы состоит в следующем: в интуиционистской математике проверка того, что ${displaystyle A}$ имеет место последовательность ${displaystyle alpha}$ дается как процедура; в любой момент выполнения этой процедуры мы будем исследовать только конечный начальный отрезок последовательности. Таким образом, интуитивно эта аксиома утверждает, что, поскольку в любой момент проверки этого ${displaystyle A}$ удерживает ${displaystyle alpha}$, мы только проверим, что ${displaystyle A}$ выполняется для конечной начальной последовательности ${displaystyle alpha}$; таким образом, должно быть так, что ${displaystyle A}$ также верно для любой беззаконной последовательности ${displaystyle eta}$ разделяя эту начальную последовательность. Это потому, что на любом этапе процедуры проверки ${displaystyle A (альфа)}$, для любого такого ${displaystyle eta}$ разделяя начальный префикс ${displaystyle alpha}$ закодировано ${displaystyle n}$ что мы уже рассмотрели, если запустить аналогичную процедуру на ${displaystyle eta}$, мы получим тот же результат. Аксиома может быть обобщена для любого предиката с произвольным числом аргументов.

Другая аксиома требуется для беззаконных последовательностей. В аксиома плотности, предоставленный:

${displaystyle forall n, существует альфа [альфа в n]}$

утверждает, что для любого конечного префикса (закодированного) ${displaystyle n}$, есть последовательность ${displaystyle alpha}$ начиная с этого префикса. Эта аксиома нужна нам, чтобы не было «дыр» в множестве последовательностей выбора. Эта аксиома является причиной того, что мы требуем, чтобы произвольно длинные конечные исходные последовательности беззаконных последовательностей выбора могли быть определены заранее; без этого требования аксиома плотности не обязательно гарантируется.

использованная литература

• Даммит, М. 1977. Элементы интуиционизма, Oxford University Press.
• Жакетт, Дейл. 2002 г. Компаньон философской логики, Blackwell Publishing. С. 517.
• Kreisel, Георг. 1958 г. Замечание о последовательностях свободного выбора и доказательствах топологической полноты, Журнал символической логики, том 23. стр. 269
• Троэльстра, А. 1977. Последовательности выбора. Глава интуиционистской математики. Кларендон Пресс.
• Троэльстра, А. 1983 г. Анализ последовательности выбора, Journal of Philosophical Logic, 12: 2 с. 197.
• Troelstra, A.S .; Д. ван Дален. 1988. Конструктивизм в математике: Введение. Северная Голландия.