Циркулярный закон - Circular law

В теория вероятности, а точнее изучение случайные матрицы, то циркулярный закон касается распределения собственные значения из п × п случайная матрица с независимые и идентично распределенные записи в пределеп → ∞.

Утверждается, что для любой последовательности случайный п × п матрицы чьи записи независимые и одинаково распределенные случайные величины, все с иметь в виду ноль и отклонение равно 1/п, предельным спектральным распределением является равномерное распределение над единичным диском.

График действительной и мнимой частей (в масштабе sqrt (1000)) собственных значений матрицы размером 1000x1000 с независимыми стандартными нормальными записями.

Точное заявление

Позволять ${ displaystyle (X_ {n}) _ {n = 1} ^ { infty}}$ быть последовательностью п × п матричные ансамбли, элементы которых i.i.d. копии сложной случайной величины Икс с иметь в виду 0 и отклонение 1. Пусть ${ displaystyle lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n}, 1 leq j leq n}$ обозначить собственные значения из ${ displaystyle displaystyle { frac {1} { sqrt {n}}} X_ {n}}$. Определите эмпирическую спектральную меру ${ displaystyle displaystyle { frac {1} { sqrt {n}}} X_ {n}}$ в качестве

${ displaystyle mu _ {{ frac {1} { sqrt {n}}} X_ {n}} (A) = n ^ {- 1} # {j leq n: lambda _ {j } in A } ~, quad A in { mathcal {B}} ( mathbb {C}).}$

Принимая во внимание эти определения, круговой закон утверждает, что почти наверняка (т.е. с вероятностью единица) последовательность мер ${ displaystyle displaystyle mu _ {{ frac {1} { sqrt {n}}} X_ {n}}}$ сходится в распределении к единой мере на единичном диске.

История

Для случайных матриц с гауссовым распределением элементов ( Ансамбли Ginibre), циркулярный закон был установлен в 1960-х гг. Жан Жинибр.^[1] В 80-е годы Вячеслав Гирко представил^[2] подход, который позволил установить круговой закон для более общих распределений. Был достигнут дальнейший прогресс^[3] Чжидонг Бай, который установил круговой закон при определенных предположениях о гладкости распределения.

В дальнейшем предположения были смягчены в работах Теренс Тао и Ван Х. Ву,^[4] Гуанмин Пан и Ван Чжоу,^[5] и Фридрих Гетце и Александр Тихомиров.^[6] Наконец, в 2010 году Дао и Ву доказали, что^[7] круговой закон при минимальных предположениях, указанных выше.

Результат циркулярного закона был расширен в 1988 г. Соммерсом, Крисанти, Сомполински и Штейном до эллиптического закона для ансамблей матриц с произвольными корреляциями.^[8] Эллиптические и круговые законы были далее обобщены Асейтуно, Роджерсом и Шомерусом до закона гипотрохоидов, который включает корреляции более высокого порядка.^[9]

Смотрите также

• Распределение полукруга Вигнера

Рекомендации