Теория Клиффорда - Clifford theory

В математике Теория Клиффорда, представлен Альфред Х. Клиффорд (1937), описывает связь между представлениями группы и представлениями нормальной подгруппы.

Альфред Х. Клиффорд

Альфред Х. Клиффорд доказал следующий результат об ограничении конечномерных неприводимых представлений из группы грамм к нормальная подгруппа N конечных индекс:

Теорема Клиффорда

Теорема. Пусть π: грамм → GL (п,K) - неприводимое представление с K а поле. Тогда ограничение π на N распадается на прямую сумму неприводимых представлений N равных размеров. Эти неприводимые представления N лежат на одной орбите для действия грамм сопряжением на классах эквивалентности неприводимых представлений N. В частности, количество попарно неизоморфных слагаемых не превышает индекса N в грамм.

Теорема Клиффорда дает информацию об ограничении комплексного неприводимого характера конечной группы. грамм к нормальной подгруппе Н. Если μ - комплексный характер N, то для фиксированного элемента грамм из грамм, другой символ, μ^(грамм), из N можно построить, установив

{displaystyle mu ^ {(g)} (n) = mu (gng ^ {- 1})}

для всех п в N. Характер μ^(грамм) неприводимо тогда и только тогда, когда μ. Теорема Клиффорда утверждает, что если х - комплексный неприводимый характер ГРАММ, а μ - неприводимый характер N с

{displaystyle langle chi _ {N}, mu angle eq 0,}

тогда

{displaystyle chi _ {N} = eleft (sum _ {i = 1} ^ {t} mu ^ {(g_ {i})} ight),}

куда е и т положительные целые числа, и каждое грамм_я является элементом ГРАММ. Целые числа е и т оба делят индекс [грамм:N]. Целое число т индекс подгруппы грамм, содержащий N, известный как инерционная подгруппа из μ. Это

{displaystyle {джин G: mu ^ {(g)} = mu}}

и часто обозначается

{displaystyle I_ {G} (mu).}

Элементы грамм_я можно принять за представителей всех правых смежных классов подгруппы я_грамм(μ) в грамм.

Фактически, целое число е делит индекс

{displaystyle [I_ {G} (mu): N],}

хотя доказательство этого факта требует некоторого использования Шура теория проективные представления.

Доказательство теоремы Клиффорда.

Доказательство теоремы Клиффорда лучше всего объясняется в терминах модулей (а теоретико-модульная версия работает для неприводимых модульные представления ). Позволять F быть полем, V быть неприводимым F[грамм] -модуль, V_N быть его ограничением N и U быть неприводимым F[N] -подмодуль V_N. Для каждого грамм в грамм, U.грамм неприводимый F[N] -подмодуль V_N, и ${displaystyle sum _ {gin G} U.g}$ является F[грамм] -подмодуль V, так должно быть все V по неприводимости. Сейчас же V_N выражается как сумма неприводимых подмодулей, и это выражение может быть уточнено до прямой суммы. Теперь доказательство теоретико-характерного утверждения теоремы может быть завершено в случае F = C. Пусть χ - характер грамм предоставленный V а μ - характер N предоставленный U. Для каждого грамм в грамм, то C[N] -подмодуль U.грамм дает характер μ^(грамм) и ${displaystyle langle chi _ {N}, mu ^ {(g)} angle = langle chi _ {N} ^ {(g)}, mu ^ {(g)} angle = langle chi _ {N}, mu angle}$ . Соответствующие равенства следуют из того, что χ является классовой функцией грамм и N - нормальная подгруппа. Целое число е в формулировке теоремы появляется эта общая кратность.

Следствие теоремы Клиффорда.

Следствие теоремы Клиффорда, которое часто используется, состоит в том, что неприводимый характер χ, фигурирующий в теореме, индуцирован неприводимым характером инерциальной подгруппы я_грамм(μ). Если, например, неприводимый характер χ есть примитивный (т. е. х не индуцируется ни из какой собственной подгруппы группы грамм), тогда грамм = я_грамм(μ) и χ_N = еμ. Особенно часто это свойство примитивных символов используется, когда N абелева, а χ - верный (то есть его ядро содержит только единичный элемент). В этом случае μ линейно, N представлен скалярными матрицами в любом представлении, дающем характер χ и N таким образом содержится в центр из грамм. Например, если грамм симметрическая группа S₄, тогда грамм имеет точный комплексный неприводимый характер х степени 3. Существует абелева нормальная подгруппа N порядка 4 (Кляйн 4-подгруппа), не содержащаяся в центре грамм. Следовательно, х индуцирован характером собственной подгруппы группы грамм содержащий Н. Единственная возможность состоит в том, что χ индуцируется линейным характером силовского 2-подгруппа грамм.

Дальнейшие разработки

Теорема Клиффорда привела к самостоятельному разделу теории представлений, теперь известному как Теория Клиффорда. Это особенно актуально для теории представлений конечных разрешимых групп, где обычно имеется множество нормальных подгрупп. Для более общих конечных групп теория Клиффорда часто позволяет свести вопросы теории представлений к вопросам о группах, которые близки (в некотором смысле, который можно уточнить) к простоте.

Джордж Макки (1976) нашел более точную версию этого результата для ограничения неприводимых унитарные представления из локально компактные группы к замкнутым нормальным подгруппам в том, что стало известно как «машина Макки» или «анализ нормальных подгрупп Макки».