Уравнение Коула – Коула - Cole–Cole equation

В Уравнение Коула – Коула это расслабление модель, которая часто используется для описания диэлектрическая релаксация в полимеры.

Он задается уравнением

${displaystyle varepsilon ^ {*} (omega) = varepsilon _ {infty} + {frac {varepsilon _ {s} -varepsilon _ {infty}} {1+ (iomega au) ^ {1-alpha}}}}$

где ${displaystyle varepsilon ^ {*}}$ это комплексная диэлектрическая проницаемость, ${displaystyle varepsilon _ {s}}$ и ${displaystyle varepsilon _ {infty}}$ - диэлектрическая проницаемость «статической» и «бесконечной частоты», ${displaystyle omega}$ это угловая частота и ${displaystyle au}$ постоянная времени.

Параметр экспоненты ${displaystyle alpha}$, который принимает значение от 0 до 1, позволяет описывать различные формы спектра. Когда ${displaystyle alpha = 0}$, модель Коула-Коула сводится к Дебай модель. Когда ${displaystyle alpha> 0}$релаксация растянутый, т.е. он распространяется на более широкий диапазон логарифмической ${displaystyle omega}$ масштабнее, чем дебаевская релаксация.

Разделение комплексной диэлектрической проницаемости ${displaystyle varepsilon (омега)}$ сообщалось в оригинальной статье Коула и Коула^[1] следующим образом:

${displaystyle varepsilon '= varepsilon _ {infty} + (varepsilon _ {s} -varepsilon _ {infty}) {frac {1+ (omega au) ^ {1-alpha} sin alpha pi / 2} {1 + 2 ( omega au) ^ {1-альфа} sin alpha pi / 2 + (omega au) ^ {2 (1-альфа)}}}}$

${displaystyle varepsilon '' = {frac {(varepsilon _ {s} -varepsilon _ {infty}) (omega au) ^ {1-alpha} cos alpha pi / 2} {1 + 2 (omega au) ^ {1- альфа} sin альфа пи / 2 + (омега а.е.) ^ {2 (1-альфа)}}}}$

После введения гиперболических функций приведенные выше выражения сводятся к:

${displaystyle varepsilon '= varepsilon _ {infty} + {frac {1} {2}} (varepsilon _ {0} -varepsilon _ {infty}) left [1- {frac {sinh ((1-alpha) x)} {cosh ((1-alpha) x) + cos alpha pi / 2}} ight]}$

${displaystyle varepsilon '' = {frac {1} {2}} (varepsilon _ {0} -varepsilon _ {infty}) {frac {cos alpha pi / 2} {cosh ((1-alpha) x) + sin alpha пи / 2}}}$

Вот ${displaystyle x = ln (omega au)}$.

Эти уравнения сводятся к выражению Дебая, когда ${displaystyle alpha = 0}$.

Релаксация Коула – Коула представляет собой частный случай Гавриляк – Негами релаксация когда параметр симметрии (β) равен 1, то есть когда релаксационные пики симметричны. Другой частный случай релаксации Гавриляка – Негами (β <1, α = 1) известен как Коула-Дэвидсона релаксация. Краткий и обновленный обзор аномальной диэлектрической релаксации в неупорядоченных системах см. У Калмыкова.

использованная литература

Cole, K.S .; Коул, Р. Х. (1941). «Дисперсия и поглощение в диэлектриках - I характеристики переменного тока». J. Chem. Phys. 9 (4): 341–352. Bibcode:1941ЖЧФ ... 9..341С. Дои:10.1063/1.1750906.

Cole, K.S .; Коул, Р. Х. (1942). «Дисперсия и поглощение в диэлектриках - II характеристики постоянного тока». Журнал химической физики. 10 (2): 98–105. Bibcode:1942ЖЧФ..10 ... 98С. Дои:10.1063/1.1723677.

Калмыков, Ю.П .; Coffey, W.T .; Crothers, D.S.F .; Титов, С.В. (2004). «Микроскопические модели диэлектрической релаксации в неупорядоченных системах». Физический обзор E. 70 (4): 041103. Bibcode:2004PhRvE..70d1103K. Дои:10.1103 / PhysRevE.70.041103. PMID  15600393.