Алгебра Коломбо - Википедия - Colombeau algebra

В математика, а Алгебра Коломбо является алгебра определенного вида, содержащего пространство Распределения Шварца. Хотя в классической теории распределений общее умножение распределений невозможно, алгебры Коломбо обеспечивают для этого строгую основу.

Такое умножение распределений долгое время считалось невозможным из-за результата Л. Шварца о невозможности, который в основном утверждает, что не может быть дифференциальной алгебры, содержащей пространство распределений и сохраняющей произведение непрерывных функций. Однако, если кто-то хочет сохранить только произведение гладких функций, такая конструкция становится возможной, как впервые продемонстрировал Коломбо.

Можно сказать, что как математический инструмент алгебры Коломбо объединяют в одной структуре обработку сингулярностей, дифференцирование и нелинейные операции, снимая ограничения теории распределений. Эти алгебры нашли множество приложений в области дифференциальных уравнений в частных производных, геофизики, микролокального анализа и общей теории относительности.

Результат невозможности Шварца

Попытка встроить пространство ${ Displaystyle { mathcal {D}} '( mathbb {R})}$ распределений на ${ Displaystyle mathbb {R}}$ в ассоциативную алгебру ${ Displaystyle (А ( mathbb {R}), circ, +)}$ , естественными кажутся следующие требования:

${ Displaystyle { mathcal {D}} '( mathbb {R})}$ линейно вложен в ${ Displaystyle А ( mathbb {R})}$ такая, что постоянная функция ${ displaystyle 1}$ становится единством в ${ Displaystyle А ( mathbb {R})}$ ,
Есть оператор частной производной ${ displaystyle partial}$ на ${ Displaystyle А ( mathbb {R})}$ который является линейным и удовлетворяет правилу Лейбница,
ограничение ${ displaystyle partial}$ к ${ Displaystyle { mathcal {D}} '( mathbb {R})}$ совпадает с обычной частной производной,
ограничение ${ displaystyle circ}$ к ${ Displaystyle С ( mathbb {R}) раз С ( mathbb {R})}$ совпадает с поточечным произведением.

Однако результат Л. Шварца^[1] означает, что эти требования не могут выполняться одновременно. То же самое верно, даже если в 4. заменить ${ Displaystyle С ( mathbb {R})}$ к ${ Displaystyle С ^ {к} ( mathbb {R})}$ , пространство ${ displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемые функции. Хотя этот результат часто интерпретируется как утверждение, что общее умножение распределений невозможно, на самом деле он только утверждает, что нельзя неограниченно комбинировать дифференцирование, умножение непрерывных функций и наличие особых объектов, таких как дельта Дирака.

Алгебры Коломбо строятся так, чтобы удовлетворять условиям 1.– 3. и условие, подобное 4., но с ${ Displaystyle С ( mathbb {R}) раз С ( mathbb {R})}$ заменен на ${ Displaystyle C ^ { infty} ( mathbb {R}) times C ^ { infty} ( mathbb {R})}$ , т.е. они сохраняют произведение только гладких (бесконечно дифференцируемых) функций.

Основная идея

Алгебра Коломбо^[2] определяется как фактор-алгебра

{ displaystyle C_ {M} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}) / C_ {N} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}).}

Здесь алгебра умеренные функции ${ Displaystyle C_ {M} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}$ на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ алгебра семейств гладких регуляризации (ж_ε)

{ Displaystyle {е:} mathbb {R} _ {+} к C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}

из гладкие функции на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ (куда р₊ = (0, ∞) - это "регуляризация "параметр ε), такой, что для всех компактных подмножеств K из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ и все мультииндексы α существует N > 0 такой, что

{ displaystyle sup _ {x in K} left | { frac { partial ^ {| alpha |}} {( partial x_ {1}) ^ { alpha _ {1}} cdots ( partial x_ {n}) ^ { alpha _ {n}}}} f _ { varepsilon} (x) right | = O ( varepsilon ^ {- N}) qquad ( varepsilon to 0). }

В идеальный ${ Displaystyle C_ {N} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}$ из незначительные функции определяется таким же образом, но с частными производными, ограниченными O (ε^{+ N}) за все N > 0.

Встраивание дистрибутивов

Пространство (а) Распределения Шварца может быть встроен в упрощенный алгебра (покомпонентно) свертка с любым элементом алгебры, имеющим в качестве представителя δ-сеть, т.е. семейство гладких функций ${ displaystyle varphi _ { varepsilon}}$ такой, что ${ displaystyle varphi _ { varepsilon} to delta}$ в D ' в качествеε → 0.

Это вложение неканонично, так как зависит от выбора δ-сети. Однако существуют версии алгебр Коломбо (так называемые полный алгебры), допускающие канонические вложения распределений. Известный полный версия получается путем добавления смягчителей в качестве второго набора индексации.

Смотрите также

Обобщенная функция

Примечания

^ Л. Шварц, 1954, "Sur l'impossibilité de la multiplication des distributions", Comptes Rendus de L'Académie des Sciences 239, стр. 847–848. [1]
^ Гратус, Дж. (2013). "Алгебра Коломбо: педагогическое введение". arXiv:1308.0257 [math.FA ].