Коммутирующие матрицы - Commuting matrices

В линейная алгебра, два матрицы ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ говорят ездить если ${ displaystyle AB = BA}$ и, что то же самое, их коммутатор ${ displaystyle [A, B] = AB-BA}$ равно нулю. Набор матриц ${ Displaystyle A_ {1}, ldots, A_ {k}}$ говорят ездить если они коммутируют попарно, что означает, что каждая пара матриц в наборе коммутирует друг с другом.

Характеристики и свойства

• Коммутирующие матрицы сохраняют друг друга собственные подпространства.^[1] Как следствие, коммутирующие матрицы над алгебраически замкнутым полем имеют вид одновременно треугольный, то есть есть основания, над которыми они оба верхний треугольный. Другими словами, если ${ Displaystyle A_ {1}, ldots, A_ {k}}$ коммутируют, существует матрица подобия ${ displaystyle P}$ такой, что ${ displaystyle P ^ {- 1} A_ {i} P}$ верхний треугольник для всех ${ Displaystyle я в {1, ldots, к }}$. Обратное не обязательно верно, как показывает следующий контрпример:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 2 0 & 3 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 3 0 & 3 end {bmatrix }} neq { begin {bmatrix} 1 & 5 0 & 3 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 2 0 & 3 end { bmatrix}}}$

Однако если квадрат коммутатора двух матриц равен нулю, т.е. ${ Displaystyle [А, В] ^ {2} = 0}$, то верно обратное.^[2]

• Если матрицы ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ находятся одновременно диагонализуемый, то есть существует матрица подобия ${ displaystyle P}$ такой, что ${ displaystyle P ^ {- 1} AP}$ и ${ displaystyle P ^ {- 1} BP}$ оба диагональны, то ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ ездить. Обратное не обязательно верно, поскольку одна из матриц не может быть диагонализуемой, например:

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix }} { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}} { text {but}} { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}} { text {не диагонализируется.} }}$

Если же обе матрицы диагонализуемы, то они могут быть диагонализованы одновременно.

• Если одна из матриц обладает тем свойством, что ее минимальный многочлен совпадает с ее характеристическим многочленом (т. Е. Имеет максимальную степень), что, в частности, происходит, когда характеристический многочлен имеет только простые корни, тогда другая матрица может быть записана как многочлен во-первых.
• Как прямое следствие одновременной триангулируемости, собственные значения двух коммутирующих комплексных матриц А, B с их алгебраическими кратностями ( мультимножества корней их характеристических многочленов) можно сопоставить как ${ displaystyle alpha _ {я} leftrightarrow beta _ {я}}$ таким образом, что мультимножество собственных значений любого многочлена ${ Displaystyle P (А, В)}$ в двух матрицах - мультимножество значений ${ Displaystyle P ( альфа _ {я}, бета _ {я})}$. Эта теорема принадлежит Фробениусу.^[3]
• Два Эрмитский матрицы коммутируют, если их собственные подпространства совпадают. В частности, две эрмитовы матрицы без нескольких собственных значений коммутируют, если они имеют один и тот же набор собственных векторов. Это следует из рассмотрения разложения по собственным значениям обеих матриц. Позволять ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ - две эрмитовы матрицы. ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ имеют общие собственные подпространства, когда их можно записать как ${ displaystyle A = U Lambda _ {1} U ^ { dagger}}$ и ${ displaystyle B = U Lambda _ {2} U ^ { dagger}}$. Отсюда следует, что

${ displaystyle AB = U Lambda _ {1} U ^ { dagger} U Lambda _ {2} U ^ { dagger} = U Lambda _ {1} Lambda _ {2} U ^ { dagger } = U Lambda _ {2} Lambda _ {1} U ^ { dagger} = U Lambda _ {2} U ^ { dagger} U Lambda _ {1} U ^ { dagger} = BA .}$

• Свойство коммутации двух матриц не транзитивно: матрица ${ displaystyle A}$ может ездить с обоими ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$, И еще ${ displaystyle B}$ и ${ displaystyle C}$ не ездят друг с другом. Например, единичная матрица коммутирует со всеми матрицами, которые между ними не коммутируют. Если набор рассматриваемых матриц ограничен эрмитовыми матрицами без кратных собственных значений, то коммутативность транзитивна, как следствие характеризации в терминах собственных векторов.
• Теорема Ли, что показывает, что любое представление разрешимая алгебра Ли одновременно верхний треугольник можно рассматривать как обобщение.
• Матрица ${ displaystyle A}$ коммутирует с любой другой матрицей тогда и только тогда, когда это скалярная матрица, то есть матрица вида ${ displaystyle lambda cdot I}$, куда ${ displaystyle I}$ - единичная матрица, а ${ displaystyle lambda}$ является скаляром.

Примеры

• Единичная матрица коммутирует со всеми матрицами.
• Каждая диагональная матрица коммутирует со всеми другими диагональными матрицами.^[4]

• Жордановы блоки коммутируют с верхнетреугольными матрицами, которые имеют одинаковое значение вдоль лент.
• Если произведение двух симметричных матриц симметрично, они должны коммутировать.
• Циркулянтные матрицы ездить. Они образуют коммутативное кольцо так как сумма двух циркулянтных матриц циркулянтна.

История

Понятие коммутирующих матриц было введено Кэли в своих мемуарах по теории матриц, где также была дана первая аксиоматизация матриц. Первым значительным результатом, доказанным на них, был приведенный выше результат Фробениус в 1878 г.^[5]

Рекомендации