Компактный трафарет - Compact stencil

Компактный 2D-трафарет, в котором используются все 8 смежных узлов, а также центральный узел (красный).

В математика, особенно в областях числовой анализ называется числовые уравнения в частных производных, а компактный трафарет это тип трафарет который использует только девять узлов для своего дискретизация метод в двух измерениях. Он использует только центральный узел и соседний узлы. Для любого структурированная сетка используя компактный трафарет в 1, 2 или 3 раза размеры максимальное количество узлы равно 3, 9 или 27 соответственно. Компактные трафареты можно сравнить с некомпактные трафареты. Компактные трафареты в настоящее время применяются во многих уравнение в частных производных решатели, в том числе несколько по темам CFD, FEA и другие математические решатели, относящиеся к PDE.^[1][2]

Пример двухточечного трафарета

Двухточечный трафарет для первая производная функции определяется выражением:

${displaystyle f '(x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -fleft (x_ {0} -hight)} {2h}} + Oleft (h ^ {2} ight)}$.

Это получается из Серия Тейлор разложение первой производной функции, заданной по формуле:

${displaystyle {egin {array} {l} f '(x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -f (x_ {0})} {h}} - {frac {f ^ {(2)} (x_ {0})} {2!}} H- {frac {f ^ {(3)} (x_ {0})} {3!}} H ^ {2} - {frac { f ^ {(4)} (x_ {0})} {4!}} h ^ {3} + cdots end {array}}}$.

Замена ${displaystyle h}$ с ${displaystyle -h}$, у нас есть:

${displaystyle {egin {array} {l} f '(x_ {0}) = - {frac {fleft (x_ {0} -hight) -f (x_ {0})} {h}} + {frac {f ^ {(2)} (x_ {0})} {2!}} H- {frac {f ^ {(3)} (x_ {0})} {3!}} H ^ {2} + {frac {f ^ {(4)} (x_ {0})} {4!}} h ^ {3} + cdots end {array}}}$.

Сложение двух вышеуказанных уравнений вместе приводит к сокращению членов в нечетных степенях ${displaystyle h}$:

${displaystyle {egin {array} {l} 2f '(x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -f (x_ {0})} {h}} - {frac {fleft ( x_ {0} -hight) -f (x_ {0})} {h}} - 2 {frac {f ^ {(3)} (x_ {0})} {3!}} h ^ {2} + cdots end {array}}}$.

${displaystyle {egin {array} {l} f '(x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -fleft (x_ {0} -hight)} {2h}} - {frac { f ^ {(3)} (x_ {0})} {3!}} h ^ {2} + cdots end {array}}}$.

${displaystyle {egin {array} {l} f '(x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -fleft (x_ {0} -hight)} {2h}} + Oleft (h ^ {2} ight) конец {массив}}}$.

Пример трехточечного трафарета

Например, трехточечный трафарет для вторая производная функции определяется выражением:

${displaystyle {egin {array} {l} f ^ {(2)} (x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) + fleft (x_ {0} -hight) -2f (x_ {0})} {h ^ {2}}} + Oleft (h ^ {2} ight) end {array}}}$.

Это получается из Серия Тейлор разложение первой производной функции, заданной по формуле:

${displaystyle {egin {array} {l} f '(x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -f (x_ {0})} {h}} - {frac {f ^ {(2)} (x_ {0})} {2!}} H- {frac {f ^ {(3)} (x_ {0})} {3!}} H ^ {2} - {frac { f ^ {(4)} (x_ {0})} {4!}} h ^ {3} + cdots end {array}}}$.

Замена ${displaystyle h}$ с ${displaystyle -h}$, у нас есть:

${displaystyle {egin {array} {l} f '(x_ {0}) = - {frac {fleft (x_ {0} -hight) -f (x_ {0})} {h}} + {frac {f ^ {(2)} (x_ {0})} {2!}} H- {frac {f ^ {(3)} (x_ {0})} {3!}} H ^ {2} + {frac {f ^ {(4)} (x_ {0})} {4!}} h ^ {3} + cdots end {array}}}$.

Вычитание двух приведенных выше уравнений приводит к сокращению членов в четных степенях ${displaystyle h}$:${displaystyle {egin {array} {l} 0 = {frac {fleft (x_ {0} + hight) -f (x_ {0})} {h}} + {frac {fleft (x_ {0} -hight) -f (x_ {0})} {h}} - 2 {frac {f ^ {(2)} (x_ {0})} {2!}} h-2 {frac {f ^ {(4)} (x_ {0})} {4!}} h ^ {3} + cdots end {array}}}$.

${displaystyle {egin {array} {l} f ^ {(2)} (x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) + fleft (x_ {0} -hight) -2f (x_ {0})} {h ^ {2}}} - 2 {frac {f ^ {(4)} (x_ {0})} {4!}} H ^ {2} + cdots end {array}}}$.

${displaystyle {egin {array} {l} f ^ {(2)} (x_ {0}) = {frac {fleft (x_ {0} + hight) + fleft (x_ {0} -hight) -2f (x_ {0})} {h ^ {2}}} + Oleft (h ^ {2} ight) end {array}}}$.

Смотрите также

• Трафарет (численный анализ)
• Некомпактный трафарет
• Пятиточечный трафарет

Рекомендации

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Компактный трафарет»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Июль 2008 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)