Трафарет (численный анализ) - Stencil (numerical analysis)

В Крэнк – Николсон трафарет для одномерной задачи

В математика, особенно области числовой анализ концентрируясь на численное решение уравнений в частных производных, а трафарет представляет собой геометрическое расположение узловой группы, которая относится к интересующей точке с помощью процедуры численного приближения. Шаблоны являются основой многих алгоритмов численного решения уравнения в частных производных (PDE). Двумя примерами трафаретов являются пятиточечный трафарет и Метод Кранка – Николсона трафарет.

Трафареты делятся на две категории: компактный и некомпактный, разница состоит в том, что слои от интересующей точки также используются для расчета.

В обозначениях, используемых для одномерных шаблонов, n-1, n, n + 1 указывают временные шаги, где временной шаг n и n-1 имеет известные решения и временной шаг n + 1 должен быть вычислен. Пространственное расположение конечных объемов, используемых в расчетах, обозначено j-1, j и j + 1.

Этимология

Графические представления расположения узлов и их коэффициентов возникли на раннем этапе изучения PDE. Авторы продолжают использовать для них различные термины, такие как «шаблоны релаксации», «инструкции по эксплуатации», «лепешки» или «точечные рисунки».[1][2] Термин «трафарет» был придуман для таких узоров, чтобы отразить концепцию размещения трафарет в обычном смысле по вычислительной сетке, чтобы отображать только числа, необходимые на конкретном шаге.[2]

Расчет коэффициентов

В конечно-разностные коэффициенты для данного трафарета фиксируются выбором узловых точек. Коэффициенты можно вычислить, взяв производную от Полином Лагранжа интерполяция между узловыми точками,[3] путем вычисления Расширение Тейлора вокруг каждой узловой точки и решение линейной системы,[4] или убедившись, что трафарет точен для мономы до степени трафарета.[3] Для равноотстоящих узлов их можно эффективно вычислить как Аппроксимация Паде из , куда это порядок трафарета и - это отношение расстояния между самой левой производной и входами левой функции, деленное на шаг сетки.[5]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Эммонс, Ховард У. (1 октября 1944 г.). «Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных». (PDF). Квартал прикладной математики. 2 (3): 173–195. Дои:10.1090 / qam / 10680. Получено 17 апреля 2017.
  2. ^ а б Милн, Уильям Эдмунд (1953). Численное решение дифференциальных уравнений (1-е изд.). Вайли. стр. 128–131. Получено 17 апреля 2017.
  3. ^ а б Форнберг, Бенгт; Флаер, Наташа (2015). "Краткое изложение конечно-разностных методов". Учебник по радиальным базисным функциям в приложениях к наукам о Земле. Общество промышленной и прикладной математики. Дои:10.1137 / 1.9781611974041.ch1. ISBN  9781611974027. Получено 9 апреля 2017.
  4. ^ Тейлор, Кэмерон. "Калькулятор конечно-разностных коэффициентов". web.media.mit.edu. Получено 9 апреля 2017.
  5. ^ Форнберг, Бенгт (январь 1998 г.). «Классная записка: Расчет весов по формулам конечных разностей». SIAM Обзор. 40 (3): 685–691. Дои:10.1137 / S0036144596322507.