Измерение концентрации - Concentration dimension

В математика - в частности, в теория вероятности - в измерение концентрации из Банахово пространство -значен случайная переменная это числовая мера того, насколько «распределенная» случайная величина по сравнению с норма на пространстве.

Определение

Позволять (B, || ||) - банахово пространство и пусть Икс быть Гауссовская случайная величина принимая ценности в B. То есть для каждого линейного функционала ℓ в двойное пространство B^∗, действительная случайная величина ⟨ℓ, Икс⟩ имеет нормальное распределение. Определить

${displaystyle sigma (X) = sup left {left. {sqrt {operatorname {E} [langle ell, Xangle ^ {2}]}}, ight |, ell in B ^ {ast}, | ell | leq 1ight}. }$

Тогда измерение концентрации d(Икс) из Икс определяется

${displaystyle d (X) = {frac {operatorname {E} [| X | ^ {2}]} {sigma (X) ^ {2}}}.}$

Примеры

• Если B является п-размерный Евклидово пространство р^п со своим обычным Евклидова норма, и Икс стандартная гауссовская случайная величина, то σ(Икс) = 1 и E [||Икс||²] = п, так d(Икс) = п.
• Если B является р^п с верхняя норма, тогда σ(Икс) = 1, но E [||Икс||²] (и, следовательно d(Икс)) имеет порядок log (п).

использованная литература

• Леду, Мишель; Талагранд, Мишель (1991), Вероятность в банаховых пространствах: изопериметрия и процессы, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, 23, Берлин: Springer-Verlag, стр. 237, г. Дои:10.1007/978-3-642-20212-4, ISBN  3-540-52013-9, Г-Н  1102015.
• Пизье, Жиль (1989), Объем выпуклых тел и геометрия банахова пространства, Кембриджские трактаты по математике, 94, Cambridge University Press, Кембридж, стр. 42–43, Дои:10.1017 / CBO9780511662454, ISBN  0-521-36465-5, Г-Н  1036275.