Условная алгебра событий - Википедия - Conditional event algebra

А условная алгебра событий (CEA) является алгебраическая структура домен которого состоит из логических объектов, описываемых операторами таких форм, как «Если А, тогда B", "B, данный А", и "B, в случае А". В отличие от стандартного Булева алгебра событий, CEA позволяет определить функция вероятности, п, которая удовлетворяет уравнению п(Если А тогда B) = п(А и B) / п(А) в широком диапазоне условий.

Стандартная теория вероятностей

В стандартная теория вероятностей, каждый начинается с набора Ω результатов (или, в альтернативной терминологии, набора возможные миры ) и набор, F, некоторых (не обязательно всех) подмножеств Ω, таких что F закрыт под счетно бесконечный версии операций теория базовых множеств: объединение (∪), пересечение (∩) и дополнение (′). Членом F называется событием (или, как вариант, предложение ), и F, множество событий, является областью алгебры. Ω обязательно входит в F, а именно банальное событие «Происходит какой-то результат».

Функция вероятности п назначает каждому члену F действительное число таким образом, чтобы удовлетворять следующим аксиомы:

На любое мероприятие E, п(E) ≥ 0.

п(Ω) = 1

Для любого счетный последовательность E₁, E₂, ... попарно непересекающихся событий (это означает, что каждое событие не пересекается с любым другим событием), п(E₁ ∪ E₂ ∪ ...) = п(E₁) + п(E₂) + ....

Следует, что п(E) всегда меньше или равно 1. Функция вероятности является основой для таких утверждений, как п(А ∩ B′) = 0,73, что означает: «Вероятность того, что А но нет B составляет 73% ".

Условные вероятности и вероятности условных выражений

Утверждение «Вероятность того, что если А, тогда B, составляет 24%. "означает (интуитивно говоря), что событие B встречается в 24% случаев, когда событие А происходит. Стандартным формальным выражением этого является п(B|А) = 0,24, где условная возможность п(B|А) равно по определению п(А ∩ B) / п(А).

Вместо этого возникает соблазн написать п(А → B) = 0,24, где А → B условное событие "Если А, тогда B". То есть с учетом событий А и B, можно было бы постулировать событие, А → B, так что п(А → B) можно было рассчитывать на равенство п(B|А). Одним из преимуществ возможности ссылки на условные события будет возможность вкладывать описания условных событий в более крупные конструкции. Тогда, например, можно было бы написать п(А ∪ (B → C)) = 0,51, что означает «вероятность того, что либо А, иначе если B, тогда C, составляет 51% ».

К сожалению, философ Дэвид Льюис показал, что в ортодоксальной теории вероятностей только некоторые тривиальные булевы алгебры с очень небольшим количеством элементов содержат для любого данного А и B, событие Икс такой, что п(Икс) = п(B|А) верно для любой функции вероятности п. Позднее этот результат был расширен другими и представляет собой серьезное препятствие для разговоров о логических объектах, которые могут быть носителями условных вероятностей.

Построение условных алгебр событий

Классификация алгебры не ссылается на природу объектов в области, а полностью зависит от формального поведения операций в области. Однако при исследовании свойств алгебры часто предполагается, что объекты имеют определенный характер. Таким образом, каноническая булева алгебра, как описано выше, является алгеброй подмножеств множества универсумов. По сути, Льюис показал, что можно и чего нельзя делать с алгеброй, члены которой ведут себя как члены такого набора подмножеств.

Условные алгебры событий позволяют обойти препятствие, указанное Льюисом, с помощью нестандартной области объектов. Вместо того, чтобы быть членами набора F подмножеств некоторого универсального множества Ω, канонические объекты обычно являются конструкциями более высокого уровня из членов Ф. Самая естественная и исторически первая конструкция использует упорядоченные пары членов Ф. Другие конструкции используют наборы членов F или бесконечные последовательности членов F.

К конкретным типам CEA относятся следующие (перечислены в порядке обнаружения):

Алгебры Шэя

Алгебры Калабрезе

Алгебры Гудмана-Нгуена-ван Фраассена

Алгебры Гудмана-Нгуена-Уокера

CEA различаются по своим формальным свойствам, поэтому их нельзя рассматривать как единый класс алгебры с аксиоматической характеристикой. Например, алгебры Гудмана-Нгуена-ван Фрассена являются булевыми, в то время как алгебры Калабрезе не являютсяраспределительный. Последние, однако, поддерживают интуитивно привлекательную идентичность. А → (B → C) = (А ∩ B) → C, а первые - нет.

Рекомендации

Гудман, И. Р., Р. П. С. Малер и Х. Т. Нгуен. 1999. «Что такое условная алгебра событий и почему вас это должно волновать?» Труды SPIE, Том 3720.

Льюис, Дэвид К. 1976. "Вероятности условных выражений и условных вероятностей". Философский обзор 85: 297-315.