Замешательство обратного - Confusion of the inverse

Замешательство обратного, также называемый ошибка условной вероятности или обратная ошибка, это логическая ошибка после чего условная возможность приравнивается к обратному; то есть, учитывая два события А и B, вероятность А происходит с учетом этого B произошло примерно такое же, как вероятность B данный А, когда на самом деле нет никаких доказательств этому предположению.^[1][2] Более формально п(А|B) предполагается примерно равным п(B|А).

Примеры

Пример 1

В одном исследовании врачей попросили оценить вероятность злокачественного новообразования с точностью до 1%. априорная вероятность возникновения. Тест может обнаружить 80% злокачественных новообразований и имеет 10% ложноположительных результатов. Какова вероятность злокачественного новообразования при положительном результате теста?^[3] Примерно 95 из 100 врачей ответили, что вероятность злокачественного новообразования составит около 75%, по-видимому, потому, что врачи полагали, что шансы злокачественного новообразования при положительном результате теста примерно такие же, как шансы на положительный результат теста при злокачественном образовании.^[4]

Правильная вероятность злокачественного новообразования при положительном результате теста, как указано выше, составляет 7,5%. Теорема Байеса:

${ displaystyle { begin {align} & {} qquad P ({ text {malignant}} | { text {positive}}) [8pt] & = { frac {P ({ text {положительный }} | { text {malignant}}) P ({ text {malignant}})} {P ({ text {positive}} | { text {malignant}}) P ({ text {malignant}} ) + P ({ text {положительный}} | { text {доброкачественный}}) P ({ text {доброкачественный}})}} [8pt] & = { frac {(0.80 cdot 0.01)} {(0,80 cdot 0,01) + (0,10 cdot 0,99)}} = 0,075 конец {выровнено}}}$

Другие примеры путаницы включают:

• Потребители сильных наркотиков склонны употреблять марихуана; поэтому потребители марихуаны склонны употреблять сильнодействующие наркотики (первая вероятность - это употребление марихуаны при употреблении тяжелых наркотиков, вторая - это употребление тяжелых наркотиков при употреблении марихуаны).^[5]
• Большинство несчастных случаев происходит в пределах 25 миль от дома; поэтому вы в большей безопасности, когда находитесь далеко от дома.^[5]
• Террористы обычно имеют инженерное образование; Итак, инженеры имеют тенденцию к терроризму.^[6]

Для других ошибок в условной вероятности см. Проблема Монти Холла и ошибка базовой ставки. Сравнить с незаконное преобразование.

Пример 2

Чтобы идентифицировать людей с серьезным заболеванием в ранней излечимой форме, можно рассмотреть возможность обследования большой группы людей. Хотя преимущества очевидны, аргументом против таких обследований является нарушение, вызванное ложноположительными результатами скрининга: если человек, не страдающий заболеванием, ошибочно обнаружил его при первоначальном обследовании, он, скорее всего, будет расстроен, и даже если он впоследствии пройдут более тщательный анализ, и им скажут, что они здоровы, но это может отрицательно сказаться на их жизни. Если они прибегнут к ненужному лечению болезни, они могут пострадать из-за побочных эффектов и затрат на лечение.

Масштабы этой проблемы лучше всего понять с точки зрения условных вероятностей.

Допустим, 1% группы страдает заболеванием, а остальные здоровы. Выбирая человека наугад,

${ displaystyle P ({ text {ill}}) = 1 \% = 0,01 { text {and}} P ({ text {well}}) = 99 \% = 0,99.}$

Предположим, что когда скрининговый тест применяется к человеку, не страдающему заболеванием, существует 1% шанс получить ложноположительный результат (и, следовательно, 99% шанс получить истинно отрицательный результат), т.е.

${ displaystyle P ({ text {positive}} | { text {well}}) = 1 \%, { text {and}} P ({ text {negative}} | { text {well}} ) = 99 \%.}$

Наконец, предположим, что когда тест применяется к человеку, страдающему заболеванием, вероятность ложноотрицательного результата составляет 1% (и вероятность получения истинно положительного результата 99%), т.е.

${ displaystyle P ({ text {negative}} | { text {ill}}) = 1 \% { text {and}} P ({ text {positive}} | { text {ill}}) = 99 \%.}$

Расчеты

Доля людей во всей группе, которые здоровы и имеют отрицательный результат теста (истинно отрицательный):

${ displaystyle P ({ text {well}} cap { text {negative}}) = P ({ text {well}}) times P ({ text {negative}} | { text {well }}) = 99 \% times 99 \% = 98.01 \%.}$

Доля людей во всей группе, которые больны и имеют положительный результат теста (истинно положительный):

${ displaystyle P ({ text {ill}} cap { text {positive}}) = P ({ text {ill}}) times P ({ text {positive}} | { text {ill }}) = 1 \% times 99 \% = 0,99 \%.}$

Доля лиц во всей группе с ложноположительными результатами:

${ displaystyle P ({ text {well}} cap { text {positive}}) = P ({ text {well}}) times P ({ text {positive}} | { text {хорошо }}) = 99 \% times 1 \% = 0,99 \%.}$

Доля лиц во всей группе с ложноотрицательными результатами:

${ displaystyle P ({ text {ill}} cap { text {negative}}) = P ({ text {ill}}) times P ({ text {negative}} | { text {ill }}) = 1 \% times 1 \% = 0,01 \%.}$

Кроме того, доля лиц во всей группе с положительным результатом теста:

${ displaystyle { begin {align} P ({ text {positive}}) & {} = P ({ text {well}} cap { text {positive}}) + P ({ text {ill }} cap { text {positive}}) & {} = 0,99 \% + 0,99 \% = 1,98 \%. end {выравнивается}}}$

Наконец, вероятность того, что человек действительно болен, при положительном результате теста:

${ displaystyle P ({ text {ill}} | { text {positive}}) = { frac {P ({ text {ill}} cap { text {positive}})} {P ({ text {positive}})}} = { frac {0.99 \%} {1.98 \%}} = 50 \%.}$

Вывод

В этом примере должно быть легко соотнести разницу между условными вероятностями п(положительный | плохой), что с предполагаемыми вероятностями составляет 99%, и п(плохо | положительно), что составляет 50%: первая - это вероятность того, что у человека, у которого есть болезнь, будет положительный результат; вторая - вероятность того, что человек с положительным результатом теста действительно болен. Таким образом, с вероятностями, выбранными в этом примере, примерно такое же количество людей получит преимущества раннего лечения, как и те, кто обеспокоен ложными срабатываниями; эти положительные и отрицательные эффекты можно затем учитывать при принятии решения о проведении скрининга или, если возможно, о корректировке критериев теста для уменьшения количества ложноположительных результатов (возможно, за счет большего количества ложноотрицательных результатов).

Смотрите также

• Конверс (логика)
• Ошибка прокурора

Примечания

Рекомендации

• Виллежубер, Гаэль; Мандель, Дэвид (2002). «Обратная ошибка: отчет об отклонениях от теоремы Байеса и принципа аддитивности». Память и познание. 30 (5): 171–178. Дои:10.3758 / BF03195278.
• Эдди, Дэвид М. (1982). Вероятностные рассуждения в клинической медицине: проблемы и возможности. В Д. Канеман, П. Слович и А. Тверски (Ред.) Суждение в условиях неопределенности: эвристика и предубеждения (стр. 249–267). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета.
• Хасти, Рид; Робин Доус (2001). Рациональный выбор в неопределенном мире. ISBN  978-0-7619-2275-9.^{[требуется полная цитата ]}
• Плюс, Скотт (1993). Психология суждения и принятия решений. ISBN  978-0-07-050477-6.^{[требуется полная цитата ]}