Кулоновская волновая функция - Coulomb wave function

В математика, а Кулоновская волновая функция это решение Кулоновское волновое уравнение, названный в честь Шарль-Огюстен де Кулон. Они используются для описания поведения заряженные частицы в Кулоновский потенциал и может быть записан в терминах конфлюэнтные гипергеометрические функции или же Функции Уиттекера мнимого аргумента.

Кулоновское волновое уравнение

Уравнение кулоновской волны для одной заряженной частицы массы это Уравнение Шредингера с Кулоновский потенциал[1]

куда - произведение зарядов частицы и источника поля (в единицах элементарный заряд, для атома водорода), это постоянная тонкой структуры, и это энергия частицы. Решение - волновая функция Кулона - можно найти, решив это уравнение в параболических координатах

В зависимости от выбранных граничных условий решение имеет разный вид. Два решения:[2][3]

куда это конфлюэнтная гипергеометрическая функция, и это гамма-функция. Здесь используются два граничных условия:

которые соответствуют -ориентированные плоские волновые асимптотические состояния перед или же после его приближение к источнику поля в начале координат соответственно. Функции связаны между собой формулой

Частичное волновое расширение

Волновая функция может быть разложен на частичные волны (то есть по отношению к угловому базису) для получения радиальных функций, не зависящих от угла . Здесь .

Отдельный член разложения можно выделить скалярным произведением с определенной сферической гармоникой

Уравнение для одиночной парциальной волны можно получить, переписав лапласиан в уравнении кулоновской волны в сферических координатах и ​​проецируя уравнение на конкретную сферическая гармоника

Решения также называют кулоновскими (парциальными) волновыми функциями или сферическими кулоновскими функциями. Положив меняет кулоновское волновое уравнение на Уравнение Уиттекера, поэтому кулоновские волновые функции могут быть выражены через функции Уиттекера с мнимыми аргументами и . Последнее можно выразить через конфлюэнтные гипергеометрические функции и . Один определяет специальные решения [4]

куда

называется кулоновским фазовым сдвигом. Также определяются реальные функции

В частности, есть

Асимптотика сферических кулоновских функций , , и в целом является

куда

Решения соответствуют приходящим и исходящим сферическим волнам. Решения и действительны и называются регулярными и нерегулярными волновыми функциями Кулона. В частности, имеется следующее частичное волновое разложение для волновой функции [5]

Свойства кулоновской функции

Радиальные части для данного момента количества движения ортонормированы. При нормировке по шкале волновых чисел (k-масштаб) радиальные волновые функции континуума удовлетворяют [6][7]

Другие распространенные нормализации волновых функций континуума относятся к сокращенной шкале волновых чисел (-шкала),

и по энергетической шкале

Радиальные волновые функции, определенные в предыдущем разделе, нормированы на

как следствие нормализации

Континуальные (или рассеивающие) кулоновские волновые функции также ортогональны всем Кулоновские связанные состояния[8]

из-за того, что они являются собственными состояниями одного и того же эрмитский операторгамильтониан ) с разными собственными значениями.

дальнейшее чтение

  • Бейтман, Гарри (1953), Высшие трансцендентные функции (PDF), 1, Макгроу-Хилл.
  • Jaeger, J. C .; Халм, Х. Р. (1935), "Внутреннее преобразование γ-лучей с образованием электронов и позитронов", Труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, 148 (865): 708–728, Bibcode:1935RSPSA.148..708J, Дои:10.1098 / rspa.1935.0043, ISSN  0080-4630, JSTOR  96298
  • Слейтер, Люси Джоан (1960), Конфлюэнтные гипергеометрические функции, Издательство Кембриджского университета, МИСТЕР  0107026.

Рекомендации

  1. ^ Хилл, Роберт Н. (2006), Дрейк, Гордон (ред.), Справочник по атомной, молекулярной и оптической физике, Springer New York, стр. 153–155, Дои:10.1007/978-0-387-26308-3, ISBN  978-0-387-20802-2
  2. ^ Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1977), Курс теоретической физики III: Квантовая механика, Нерелятивистская теория (3-е изд.), Pergamon Press, стр. 569
  3. ^ Мессия, Альберт (1961), Квантовая механика, Северная Голландия Publ. Co., стр. 485
  4. ^ Гаспар, Дэвид (2018), Формулы связи между волновыми функциями Кулона (PDF)
  5. ^ Мессия, Альберт (1961), Квантовая механика, Северная Голландия Publ. Co., стр. 426
  6. ^ {Citation | first = Jiří | last = Formánek | title = Введение в квантовую теорию I | publisher = Academia | location = Prague | year = 2004 | edition = 2nd | language = Czech | pages = 128–130}}
  7. ^ Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1977), Курс теоретической физики III: Квантовая механика, Нерелятивистская теория (3-е изд.), Pergamon Press, стр. 121
  8. ^ Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1977), Курс теоретической физики III: Квантовая механика, Нерелятивистская теория (3-е изд.), Pergamon Press, стр. 668–669.