куда - произведение зарядов частицы и источника поля (в единицах элементарный заряд, для атома водорода), это постоянная тонкой структуры, и это энергия частицы. Решение - волновая функция Кулона - можно найти, решив это уравнение в параболических координатах
В зависимости от выбранных граничных условий решение имеет разный вид. Два решения:[2][3]
которые соответствуют -ориентированные плоские волновые асимптотические состояния перед или же после его приближение к источнику поля в начале координат соответственно. Функции связаны между собой формулой
Частичное волновое расширение
Волновая функция может быть разложен на частичные волны (то есть по отношению к угловому базису) для получения радиальных функций, не зависящих от угла . Здесь .
Отдельный член разложения можно выделить скалярным произведением с определенной сферической гармоникой
Уравнение для одиночной парциальной волны можно получить, переписав лапласиан в уравнении кулоновской волны в сферических координатах и проецируя уравнение на конкретную сферическая гармоника
Решения также называют кулоновскими (парциальными) волновыми функциями или сферическими кулоновскими функциями. Положив меняет кулоновское волновое уравнение на Уравнение Уиттекера, поэтому кулоновские волновые функции могут быть выражены через функции Уиттекера с мнимыми аргументами и . Последнее можно выразить через конфлюэнтные гипергеометрические функции и . Один определяет специальные решения [4]
куда
называется кулоновским фазовым сдвигом. Также определяются реальные функции
В частности, есть
Асимптотика сферических кулоновских функций , , и в целом является
куда
Решения соответствуют приходящим и исходящим сферическим волнам. Решения и действительны и называются регулярными и нерегулярными волновыми функциями Кулона. В частности, имеется следующее частичное волновое разложение для волновой функции [5]
Свойства кулоновской функции
Радиальные части для данного момента количества движения ортонормированы. При нормировке по шкале волновых чисел (k-масштаб) радиальные волновые функции континуума удовлетворяют [6][7]
Другие распространенные нормализации волновых функций континуума относятся к сокращенной шкале волновых чисел (-шкала),
и по энергетической шкале
Радиальные волновые функции, определенные в предыдущем разделе, нормированы на
^{Citation | first = Jiří | last = Formánek | title = Введение в квантовую теорию I | publisher = Academia | location = Prague | year = 2004 | edition = 2nd | language = Czech | pages = 128–130}}
^Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1977), Курс теоретической физики III: Квантовая механика, Нерелятивистская теория (3-е изд.), Pergamon Press, стр. 121
^Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1977), Курс теоретической физики III: Квантовая механика, Нерелятивистская теория (3-е изд.), Pergamon Press, стр. 668–669.