Комплекс Кокстера - Википедия - Coxeter complex

В математике Комплекс Кокстера, названный в честь Х. С. М. Коксетер, - геометрическая конструкция (a симплициальный комплекс ) связанный с Группа Коксетера. Комплексы Кокстера - основные объекты, позволяющие возводить здания; они образуют квартиры дома.

Строительство

Каноническое линейное представление

Первый ингредиент в строительстве комплекса Кокстера, связанный с группой Кокстера. W это определенный представление из W, называемый каноническим представлением W.

Позволять ${ displaystyle (W, S)}$ быть Система Кокстера связано с W, с Матрица Кокстера ${ Displaystyle M = (м (s, t)) _ {s, t in S}}$. Каноническое представление задается векторным пространством V на основе формальных символов ${ displaystyle (e_ {s}) _ {s in S}}$, который наделен симметричной билинейной формой ${ displaystyle B (e_ {s}, e_ {t}) = - cos left ({ frac { pi} {m (s, t)}} right)}$. Действие W на этом векторном пространстве V тогда дается ${ Displaystyle s (v) = v-2 { гидроразрыва {B (e_ {s}, v)} {B (e_ {s}, e_ {s})}} e_ {s}}$, как мотивировано выражением для отражений в корневые системы.

Это представление имеет несколько фундаментальных свойств в теории групп Кокстера; например, билинейная форма B положительно определен тогда и только тогда, когда W конечно. Это (всегда) верное представление из W.

Камеры и конус Титца

Можно думать об этом представлении как о выражении W как своего рода группа отражения, с оговоркой, что B не может быть положительно определенным. Тогда становится важным различать представление V от его двойного V^*. Векторы ${ displaystyle e_ {s}}$ роды V, и имеют соответствующие двойственные векторы ${ Displaystyle е_ {s} ^ { vee}}$ в V^*, предоставленный:

${ displaystyle langle e_ {s} ^ { vee}, v rangle = 2 { frac {B (e_ {s}, v)} {B (e_ {s}, e_ {s})}}, }$

где угловые скобки указывают на естественное спаривание двойственного вектора в V^* с вектором V, и B является билинейной формой, как указано выше.

Сейчас же W действует на V^*, а действие удовлетворяет формуле

${ displaystyle s (f) = f- langle f, e_ {s} rangle e_ {s} ^ { vee},}$

за ${ displaystyle s in S}$ и любой ж в V^*. Это выражает s как отражение в гиперплоскости ${ displaystyle H_ {s} = {е in V ^ {*}: langle f, e_ {s} rangle = 0 }}$. У одного есть основная камера ${ displaystyle { mathcal {C}} = {е in V ^ {*}: langle f, e_ {s} rangle> 0 forall s in S }}$, это имеет лица так называемые стены, ${ displaystyle H_ {s}}$. Остальные камеры можно получить из ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ переводом: они ${ Displaystyle ш { mathcal {C}}}$ за ${ displaystyle w in W}$.

Учитывая фундаментальную камеру ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$, то Конус сисек определяется как ${ displaystyle X = bigcup _ {w in W} w { overline { mathcal {C}}}}$. Это не обязательно должно быть все V^*. Очень важно то, что конус Титса Икс выпуклый. Действие W на конусе синицы Икс имеет фундаментальная область основная палата ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$.

Комплекс Кокстера

После определения конуса Титса Икс, комплекс Кокстера ${ Displaystyle Sigma (W, S)}$ из W относительно S можно определить как частное от Икс, с удаленным источником, положительные реалы (ℝ⁺, ×):

${ Displaystyle Sigma (W, S) = (X setminus {0 }) / mathbb {R} ^ {+}}$.

Примеры

Конечные диэдральные группы

В диэдральные группы ${ displaystyle D_ {n}}$ (порядка 2п) - группы Кокстера соответствующего типа ${ Displaystyle mathrm {I} _ {2} (п)}$. У них есть презентация ${ displaystyle left langle s, t , left | , s ^ ​​{2}, t ^ {2}, (st) ^ {n} right rangle right.}$.

Каноническое линейное представление ${ Displaystyle mathrm {I} _ {2} (п)}$ является обычным отражательным представлением группы диэдра, действующим на п-угольник в плоскости (так ${ Displaystyle V = mathbb {R} ^ {2}}$ в этом случае). Например, в случае п = 3, получаем группу Кокстера типа ${ Displaystyle mathrm {I} _ {2} (3) = mathrm {A} _ {2}}$, действующий на равносторонний треугольник на плоскости. Каждое отражение s имеет связанную гиперплоскость ЧАС_s в двойственном векторном пространстве (которое может быть канонически отождествлено с самим векторным пространством, используя билинейную форму B, который в данном случае является внутренним продуктом, как отмечалось выше), это стены. Они вырезают камеры, как показано ниже:

Тогда комплекс Кокстера - это соответствующие 2п-gon, как на изображении выше. Это симплициальный комплекс размерности 1, его можно раскрасить по котипу.

Бесконечная диэдральная группа

Еще один мотивирующий пример - это бесконечная диэдральная группа ${ displaystyle D _ { infty}}$. Это можно рассматривать как группу симметрий реальной прямой, которая сохраняет набор точек с целыми координатами; он создается отражениями в ${ displaystyle x = 0}$ и ${ Displaystyle х = {1 более 2}}$. У этой группы есть презентация Кокстера ${ displaystyle left langle s, t , left | , s ^ ​​{2}, t ^ {2} right rangle right.}$.

В этом случае идентифицировать уже невозможно V с двойным пространством V^*, так как B не является положительно определенным. Тогда лучше работать только с V^*, где и определены гиперплоскости. Это дает следующую картину:

В этом случае конус Титса - это не вся плоскость, а только верхняя полуплоскость. Выравнивание по положительным числам дает еще одну копию реальной линии с отмеченными точками у целых чисел. Это комплекс Кокстера бесконечной диэдральной группы.

Альтернативное строительство комплекса Coxeter

Другое описание комплекса Кокстера использует стандартные смежные классы группы Кокстера. W. Стандартный смежный класс - это смежный класс вида ${ displaystyle wW_ {J}}$, куда ${ Displaystyle W_ {J} = langle J rangle}$ для некоторого подмножества J из S. Например, ${ Displaystyle W_ {S} = W}$ и ${ Displaystyle W _ { emptyset} = {1 }}$.

Комплекс Кокстера ${ Displaystyle Sigma (W, S)}$ тогда посеть стандартных смежных классов, упорядоченных обратным включением. Это имеет каноническую структуру симплициального комплекса, как и все посеты, которые удовлетворяют:

• Любые два элемента имеют точную нижнюю границу.
• ЧУМ элементов, меньших или равных любому заданному элементу, изоморфен ч.у.м. подмножеств ${ Displaystyle {1,2, ldots, п }}$ для некоторого целого числап.

Характеристики

Комплекс Кокстера, связанный с ${ displaystyle (W, S)}$ имеет размер ${ displaystyle | S | -1}$. Он гомеоморфен ${ displaystyle (| S | -1)}$-сфера, если W конечно и стягиваемый если W бесконечно.

Смотрите также

• Здания
• Группа Вейля
• Корневая система

Рекомендации

• Петр Абраменко и Кеннет С. Браун, Здания, теория и приложения. Спрингер, 2008.