Вырезать (теория графов) - Cut (graph theory)

В теория графов, а резать это раздел из вершины графа на два непересекающиеся подмножества. Любой разрез определяет набор для резки, набор ребер, имеющих по одной конечной точке в каждом подмножестве раздела. Эти ребра называются Пересекать срез. В связный граф, каждое множество разрезов определяет уникальный разрез, и в некоторых случаях разрезы идентифицируются с их наборами разрезов, а не с их разбиениями вершин.

В проточная сеть, s – t вырезать это разрез, который требует источник и раковина быть в разных подмножествах, и его набор для резки состоит только из ребер, идущих со стороны источника в сторону раковины. В емкость s – t разреза определяется как сумма пропускной способности каждого ребра в набор для резки.

Определение

А резать это раздел графа на два подмножества S и Т. набор для резки разреза это набор ребер, имеющих одну конечную точку в S а другая конечная точка в Т.Если s и т - указанные вершины графа грамм, затем s–т резать это разрез, в котором s принадлежит набору S и т принадлежит набору Т.

На невзвешенном неориентированном графе размер или же масса разреза - это количество ребер, пересекающих разрез. В взвешенный график, то ценить или же масса определяется суммой весов ребер, пересекающих разрез.

А связь - это набор вырезок, который не имеет другого набора вырезок в качестве надлежащего подмножества.

Минимальный разрез

Минимальный крой.
Основная статья: Минимальный разрез

Разрез минимум если размер или вес отруба не больше размера любого другого отруба. На иллюстрации справа показан минимальный разрез: размер этого разреза равен 2, и нет разреза размера 1, потому что график без моста.

В теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе доказывает, что максимум сетевой поток и сумма весов обрезки любого минимального разреза, разделяющего источник и приемник, равны. Есть полиномиальное время методы решения проблемы min-cut, в частности Алгоритм Эдмондса – Карпа.[1]

Максимальный разрез

Максимальный крой.
Основная статья: Максимальный разрез

Разрез максимум если размер разреза не меньше размера любого другого разреза. На иллюстрации справа показан максимальный разрез: размер разреза равен 5, и нет разреза размера 6, или |E| (количество ребер), потому что граф не двудольный (существует нечетный цикл ).

В общем, поиск максимального разреза требует больших вычислений.[2]Проблема максимального обрезания - одна из 21 NP-полная задача Карпа.[3]Проблема максимального сокращения также APX-жесткий, что означает, что для него не существует схемы полиномиальной аппроксимации, если только P = NP.[4]Однако его можно аппроксимировать с точностью до константы коэффициент аппроксимации с помощью полуопределенное программирование.[5]

Обратите внимание, что min-cut и max-cut являются нет двойной проблемы в линейное программирование смысл, даже если можно перейти от одной проблемы к другой, изменив min на max в целевая функция. Задача о максимальном расходе двойственна проблеме минимального отсечения.[6]

Самый редкий срез

В самая редкая проблема среза состоит в разделении вершин на две части, чтобы минимизировать отношение количества ребер в разрезе к количеству вершин в меньшей половине раздела. Эта целевая функция отдает предпочтение решениям, которые одновременно являются разреженными (несколько ребер пересекают разрез) и сбалансированными (близкими к пополам). Проблема, как известно, является NP-сложной, и самый известный алгоритм аппроксимации - это приближение из-за Арора, Рао и Вазирани (2009).[7]

Вырезать пространство

Семейство всех разрезов неориентированного графа известно как вырезать пространство графа. Он образует векторное пространство над двухэлементным конечное поле арифметики по модулю два, с симметричная разница двух наборов вырезок в качестве операции сложения векторов, и является ортогональное дополнение из велосипедное пространство.[8][9] Если ребрам графа заданы положительные веса, минимальный вес основа вырезанного пространства можно описать дерево на том же множестве вершин, что и граф, называемый Дерево Гомори – Ху.[10] Каждое ребро этого дерева связано со связью в исходном графе, а минимальный разрез между двумя узлами s и т является связью с минимальным весом среди связанных с путем от s к т в дереве.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Кормен, Томас Х.; Лейзерсон, Чарльз Э.; Ривест, Рональд Л.; Штейн, Клиффорд (2001), Введение в алгоритмы (2-е изд.), MIT Press and McGraw-Hill, p. 563 655 1043, ISBN  0-262-03293-7.
  2. ^ Гарей, Майкл Р.; Джонсон, Дэвид С. (1979), Компьютеры и непреодолимость: руководство по теории NP-полноты, W.H. Фриман, A2.2: ND16, стр. 210, ISBN  0-7167-1045-5.
  3. ^ Карп, Р.М. (1972), "Сводимость комбинаторных задач", Miller, R.E .; Thacher, J. W. (ред.), Сложность компьютерных вычислений, Нью-Йорк: Plenum Press, стр. 85–103..
  4. ^ Хот, С.; Киндлер, G .; Mossel, E .; О’Доннелл, Р. (2004), «Оптимальные результаты несовместимости MAX-CUT и других CSP с двумя переменными?» (PDF), Материалы 45-го симпозиума IEEE по основам компьютерных наук, стр. 146–154.
  5. ^ Гоэманс, М. X.; Уильямсон, Д. П. (1995), "Улучшенные алгоритмы аппроксимации для задач максимального разреза и выполнимости с использованием полуопределенного программирования", Журнал ACM, 42 (6): 1115–1145, Дои:10.1145/227683.227684.
  6. ^ Вазирани, Виджай В. (2004), Алгоритмы аппроксимации, Springer, стр. 97–98, ISBN  3-540-65367-8.
  7. ^ Арора, Санджив; Рао, Сатиш; Вазирани, Умеш (2009), «Расширительные потоки, геометрические вложения и разбиение графов», J. ACM, ACM, 56 (2): 1–37, Дои:10.1145/1502793.1502794.
  8. ^ Гросс, Джонатан Л .; Йеллен, Джей (2005), «4.6 Графы и векторные пространства», Теория графов и ее приложения (2-е изд.), CRC Press, стр. 197–207, ISBN  9781584885054.
  9. ^ Дистель, Рейнхард (2012), "1.9 Некоторые линейные алгебры", Теория графов, Тексты для выпускников по математике, 173, Springer, стр. 23–28..
  10. ^ Корте, Б. Х.; Выген, Йенс (2008), «8.6 Гоморы – Ху деревья», Комбинаторная оптимизация: теория и алгоритмы, Алгоритмы и комбинаторика, 21, Springer, стр. 180–186, ISBN  978-3-540-71844-4.