Теорема Давенпорта – Шмидта - Davenport–Schmidt theorem

В математика, в частности, район Диофантово приближение, то Теорема Давенпорта – Шмидта говорит нам, насколько хорошо определенный вид настоящий номер можно аппроксимировать другим видом. В частности, он говорит нам, что мы можем получить хорошее приближение к иррациональным числам, которые не являются квадратичными, используя либо квадратичные иррациональные числа или просто рациональное число. Он назван в честь Гарольд Давенпорт и Вольфганг М. Шмидт.

Заявление

Если дано число α, которое является либо рациональным, либо квадратичным иррациональным, мы можем найти единственные целые числа Икс, у, и z такой, что Икс, у, и z не все равны нулю, первое ненулевое среди них положительно, они взаимно просты, и мы имеем

${displaystyle xalpha ^ {2} + yalpha + z = 0.}$

Если α квадратично иррационально, мы можем взять Икс, у, и z быть коэффициентами его минимальный многочлен. Если α рационально, мы будем иметь Икс = 0. С помощью этих целых чисел, однозначно определенных для каждого такого α, мы можем определить рост α быть

${displaystyle H (альфа) = max {| x |, | y |, | z |}.}$

Теорема затем говорит, что для любого действительного числа ξ, которое не является ни рациональным, ни квадратичным иррациональным, мы можем найти бесконечно много действительных чисел α, которые находятся рациональные или квадратичные иррациональные числа, удовлетворяющие

${displaystyle | xi -alpha |$

куда C удовлетворяет ли любое действительное число C > 160/9.^[1]

Хотя теорема связана с Теорема Рота, его реальная польза заключается в том, что это эффективный, в том смысле, что постоянная C может быть получено для любого заданного ξ.

Примечания

Рекомендации

• Вольфганг М. Шмидт. Диофантово приближение. Конспект лекций по математике 785. Springer. (1980 [1996 год с небольшими исправлениями])
• Вольфганг М. Шмидт.Диофантовы приближения и диофантовы уравнения, Конспект лекций по математике, Springer Verlag 2000

внешняя ссылка

• "Теорема Давенпорта-Шмидта". PlanetMath.