Дедекиндовая сумма - Википедия - Dedekind sum

В математика, Дедекиндовы суммы определенные суммы произведений пилообразная функция, и задаются функцией D трех целочисленных переменных. Дедекинд представил их, чтобы выразить функциональное уравнение из Функция Дедекинда эта. Впоследствии они были подробно изучены в теория чисел, и возникли в некоторых проблемах топология. Суммы Дедекинда имеют большое количество функциональных уравнений; в этой статье приводится лишь небольшая часть из них.

Дедекиндовы суммы были введены Ричард Дедекинд в комментарии к фрагменту XXVIII книги Бернхард Риманн собраны бумаги.

Определение

Определить пилообразная функция в качестве

Затем мы позволяем

определяться

условия справа являются Дедекиндовы суммы. По делу а= 1, часто пишут

s(б,c) = D(1,б;c).

Простые формулы

Обратите внимание, что D симметричен по а и б, и поэтому

и что по нечетности (())

D(−а,б;c) = −D(а,б;c),
D(а,б;−c) = D(а,б;c).

По периодичности D в первых двух аргументах, третий аргумент - длина периода для обоих,

D(а,б;c)=D(а+kc,б+lc;c) для всех целых чисел k,л.

Если d положительное целое число, то

D(объявление,bd;CD) = dD(а,б;c),
D(объявление,bd;c) = D(а,б;c), если (d,c) = 1,
D(объявление,б;CD) = D(а,б;c), если (d,б) = 1.

Имеется доказательство последнего равенства с использованием

Более того, az = 1 (мод c) подразумевает D(а,б;c) = D(1,bz;c).

Альтернативные формы

Если б и c взаимно просты, мы можем написать s(б,c) в качестве

где сумма распространяется на cкорни -й степени из единицы, кроме 1, т. е. по всем такой, что и .

Если б, c > 0 взаимно просты, то

Закон взаимности

Если б и c взаимно простые положительные целые числа, то

Переписывая это как

следует, что число 6c s(б,c) является целым числом.

Если k = (3, c) тогда

и

Отношение, которое выделяется в теории Функция Дедекинда эта следующее. Позволять q = 3, 5, 7 или 13 и пусть п = 24/(q - 1). Тогда с учетом целых чисел а, б, c, d с объявление − до н.э = 1 (таким образом, принадлежащий модульная группа ), с c выбран так, чтобы c = kq для некоторого целого числа k > 0, определим

Тогда есть пδ - целое четное число.

Радемахерское обобщение закона взаимности

Ганс Радемахер нашел следующее обобщение закона взаимности для дедекиндовских сумм:[1] Если а,б, и c - попарно взаимно простые положительные целые числа, то

Рекомендации

  1. ^ Радемахер, Ганс (1954). «Обобщение формулы взаимности для дедекиндовских сумм». Математический журнал герцога. 21: 391–397. Дои:10.1215 / s0012-7094-54-02140-7. Zbl  0057.03801.

дальнейшее чтение