Дедекиндовая сумма - Википедия - Dedekind sum

В математика, Дедекиндовы суммы определенные суммы произведений пилообразная функция, и задаются функцией D трех целочисленных переменных. Дедекинд представил их, чтобы выразить функциональное уравнение из Функция Дедекинда эта. Впоследствии они были подробно изучены в теория чисел, и возникли в некоторых проблемах топология. Суммы Дедекинда имеют большое количество функциональных уравнений; в этой статье приводится лишь небольшая часть из них.

Дедекиндовы суммы были введены Ричард Дедекинд в комментарии к фрагменту XXVIII книги Бернхард Риманн собраны бумаги.

Определение

Определить пилообразная функция ${ Displaystyle (! (,) !): mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ в качестве

${ displaystyle (! (x) !) = { begin {case} x- lfloor x rfloor -1/2, & { mbox {if}} x in mathbb {R} setminus mathbb {Z}; 0, & { mbox {if}} x in mathbb {Z}. end {case}}}$

Затем мы позволяем

${ Displaystyle D: mathbb {Z} ^ {2} times mathbb {Z} - {0 } to mathbb {R}}$

определяться

${ displaystyle D (a, b; c) = sum _ {n { bmod {c}}} left (! ! left ({ frac {an} {c}} right) ! ! right) left (! ! left ({ frac {bn} {c}} right) ! ! right),}$

условия справа являются Дедекиндовы суммы. По делу а= 1, часто пишут

s(б,c) = D(1,б;c).

Простые формулы

Обратите внимание, что D симметричен по а и б, и поэтому

${ Displaystyle D (a, b; c) = D (b, a; c),}$

и что по нечетности (())

D(−а,б;c) = −D(а,б;c),

D(а,б;−c) = D(а,б;c).

По периодичности D в первых двух аргументах, третий аргумент - длина периода для обоих,

D(а,б;c)=D(а+kc,б+lc;c) для всех целых чисел k,л.

Если d положительное целое число, то

D(объявление,bd;CD) = dD(а,б;c),

D(объявление,bd;c) = D(а,б;c), если (d,c) = 1,

D(объявление,б;CD) = D(а,б;c), если (d,б) = 1.

Имеется доказательство последнего равенства с использованием

${ displaystyle sum _ {n { bmod {c}}} left (! ! left ({ frac {n + x} {c}} right) ! ! right) = ( ! (x) !), qquad forall x in mathbb {R}.}$

Более того, az = 1 (мод c) подразумевает D(а,б;c) = D(1,bz;c).

Альтернативные формы

Если б и c взаимно просты, мы можем написать s(б,c) в качестве

${ displaystyle s (b, c) = { frac {-1} {c}} sum _ { omega} { frac {1} {(1- omega ^ {b}) (1- omega )}} + { frac {1} {4}} - { frac {1} {4c}},}$

где сумма распространяется на cкорни -й степени из единицы, кроме 1, т. е. по всем ${ displaystyle omega}$ такой, что ${ displaystyle omega ^ {c} = 1}$ и ${ displaystyle omega not = 1}$.

Если б, c > 0 взаимно просты, то

${ Displaystyle s (b, c) = { frac {1} {4c}} sum _ {n = 1} ^ {c-1} cot left ({ frac { pi n} {c} } right) cot left ({ frac { pi nb} {c}} right).}$

Закон взаимности

Если б и c взаимно простые положительные целые числа, то

${ Displaystyle s (b, c) + s (c, b) = { frac {1} {12}} left ({ frac {b} {c}} + { frac {1} {bc} } + { frac {c} {b}} right) - { frac {1} {4}}.}$

Переписывая это как

${ displaystyle 12bc left (s (b, c) + s (c, b) right) = b ^ {2} + c ^ {2} -3bc + 1,}$

следует, что число 6c s(б,c) является целым числом.

Если k = (3, c) тогда

${ Displaystyle 12bc , s (c, b) = 0 mod kc}$

и

${ Displaystyle 12bc , s (b, c) = b ^ {2} +1 mod kc.}$

Отношение, которое выделяется в теории Функция Дедекинда эта следующее. Позволять q = 3, 5, 7 или 13 и пусть п = 24/(q - 1). Тогда с учетом целых чисел а, б, c, d с объявление − до н.э = 1 (таким образом, принадлежащий модульная группа ), с c выбран так, чтобы c = kq для некоторого целого числа k > 0, определим

${ displaystyle delta = s (a, c) - { frac {a + d} {12c}} - s (a, k) + { frac {a + d} {12k}}}$

Тогда есть пδ - целое четное число.

Радемахерское обобщение закона взаимности

Ганс Радемахер нашел следующее обобщение закона взаимности для дедекиндовских сумм:^[1] Если а,б, и c - попарно взаимно простые положительные целые числа, то

${ Displaystyle D (a, b; c) + D (b, c; a) + D (c, a; b) = { frac {1} {12}} { frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {abc}} - { frac {1} {4}}.}$

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Том М. Апостол, Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (1990), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN  0-387-97127-0 (См. Главу 3.)
• Матиас Бек и Синай Робинс, Суммы Дедекинда: дискретная геометрическая точка зрения, (2005 г. или ранее)
• Ганс Радемахер и Эмиль Гроссвальд, Дедекиндовы суммы, Carus Math. Монографии, 1972. ISBN  0-88385-016-8.