Уравнение Дегаспериса – Прочези - Википедия - Degasperis–Procesi equation

В математическая физика, то Уравнение Дегаспериса – Прочези

${ displaystyle displaystyle u_ {t} -u_ {xxt} +2 kappa u_ {x} + 4uu_ {x} = 3u_ {x} u_ {xx} + uu_ {xxx}}$

один из двух точно решаемый уравнения в следующем семействе треть-порядок, нелинейный, дисперсионные PDE:

${ displaystyle displaystyle u_ {t} -u_ {xxt} +2 kappa u_ {x} + (b + 1) uu_ {x} = bu_ {x} u_ {xx} + uu_ {xxx},}$

куда ${ displaystyle kappa}$ и б реальные параметры (б= 3 для уравнения Дегаспериса – Прочези). Это было обнаружено Дегасперисом и Прочези в поисках интегрируемые уравнения по форме похож на Уравнение Камассы – Холма, которое является другим интегрируемым уравнением в этом семействе (соответствует б= 2); То, что эти два уравнения являются единственными интегрируемыми случаями, было проверено с помощью множества различных тестов на интегрируемость.^[1] Хотя оно было открыто исключительно благодаря своим математическим свойствам, уравнение Дегаспери-Прочези (с ${ displaystyle kappa> 0}$) позже было обнаружено, что он играет аналогичную роль в волна воды теория как уравнение Камассы – Холма.^[2]

Солитонные решения

Среди решений уравнения Дегаспериса – Прочези (в частном случае ${ displaystyle kappa = 0}$) являются так называемыми многопикон решения, которые являются функциями вида

${ Displaystyle Displaystyle и (х, т) = сумма _ {я = 1} ^ {п} м_ {я} (т) е ^ {- | х-х_ {я} (т) |}}$

где функции ${ displaystyle m_ {i}}$ и ${ displaystyle x_ {i}}$ удовлетворить^[3]

${ displaystyle { dot {x}} _ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} m_ {j} e ^ {- | x_ {i} -x_ {j} |}, qquad { dot {m}} _ {i} = 2m_ {i} sum _ {j = 1} ^ {n} m_ {j} , operatorname {sgn} {(x_ {i} -x_ {j} )} e ^ {- | x_ {i} -x_ {j} |}.}$

Эти ODE можно явно решить в терминах элементарных функций, используя обратные спектральные методы.^[4]

Когда ${ displaystyle kappa> 0}$ то солитон решения уравнения Дегаспериса – Прочези гладкие; они сходятся к пиконам в пределе как ${ displaystyle kappa}$ стремится к нулю.^[5]

Прерывистые решения

Уравнение Дегаспериса – Прочези (с ${ displaystyle kappa = 0}$) формально эквивалентен (нелокальному) гиперболический закон сохранения

${ displaystyle partial _ {t} u + partial _ {x} left [{ frac {u ^ {2}} {2}} + { frac {G} {2}} * { frac {3u ^ {2}} {2}} right] = 0,}$

куда ${ Displaystyle G (х) = ехр (- | х |)}$, а звездочка означает свертка относительно ИксВ этой постановке он допускает слабые решения с очень низкой степенью регулярности, даже прерывистые (ударные волны ).^[6] Напротив, соответствующая формулировка уравнения Камассы – Холма содержит свертку, включающую как ${ displaystyle u ^ {2}}$ и ${ Displaystyle и_ {х} ^ {2}}$, что имеет смысл, только если ты лежит в Соболевское пространство ${ displaystyle H ^ {1} = W ^ {1,2}}$ относительно Икс. Посредством Теорема вложения Соболева, это, в частности, означает, что слабые решения уравнения Камассы – Холма должны быть непрерывными относительно Икс.

Примечания

Рекомендации

дальнейшее чтение