Полученная некоммутативная алгебраическая геометрия - Derived noncommutative algebraic geometry

В математике производная некоммутативная алгебраическая геометрия,^[1] производная версия некоммутативная алгебраическая геометрия, является геометрическим исследованием производные категории и связанные конструкции триангулированных категорий с использованием категориальных инструментов. Некоторые основные примеры включают ограниченную производную категорию когерентных пучков на гладком многообразии, ${ displaystyle D ^ {b} (X)}$, называемая ее производной категорией, или производной категорией совершенных комплексов на алгебраическом многообразии, обозначаемой ${ displaystyle D _ { operatorname {perf}} (X)}$. Например, производная категория когерентных пучков ${ displaystyle D ^ {b} (X)}$ на гладком проективном многообразии может использоваться как инвариант основного многообразия во многих случаях (если ${ displaystyle X}$ имеет обильный (анти-) канонический пучок). К сожалению, изучение производных категорий как самих геометрических объектов не имеет стандартного названия.

Производная категория проективной прямой

Производная категория ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ является одним из мотивирующих примеров для производных некоммутативных схем из-за его простой категориальной структуры. Напомним, что Последовательность Эйлера из ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ это короткая точная последовательность

${ displaystyle 0 to { mathcal {O}} (- 2) to { mathcal {O}} (- 1) ^ { oplus 2} to { mathcal {O}} to 0}$

если мы рассмотрим два члена справа как комплекс, то мы получим выделенный треугольник

${ displaystyle { mathcal {O}} (- 1) ^ { oplus 2} { overset { phi} { rightarrow}} { mathcal {O}} to operatorname {Cone} ( phi) { overset {+1} { rightarrow}}.}$

поскольку ${ displaystyle operatorname {Cone} ( phi) cong { mathcal {O}} (- 2) [+ 1]}$ мы построили этот пучок ${ Displaystyle { mathcal {O}} (- 2)}$ используя только категориальные инструменты. Мы могли бы повторить это снова, напрягая последовательность Эйлера плоским пучком ${ Displaystyle { mathcal {O}} (- 1)}$, и снова применим конструкцию конуса. Если мы возьмем двойственные пучки, то мы сможем построить все линейные расслоения в ${ displaystyle operatorname {Coh} ( mathbb {P} ^ {1})}$ используя только его триангулированную структуру. Оказывается, правильный способ изучения производных категорий от его объектов и триангулированной структуры - это исключительные коллекции.

Полуортогональные разложения и исключительные коллекции

Технические инструменты для кодирования этой конструкции - полуортогональные разложения и исключительные коллекции.^[2] А полуортогональное разложение триангулированной категории ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ представляет собой набор полных триангулированных подкатегорий ${ displaystyle { mathcal {T}} _ {1}, ldots, { mathcal {T}} _ {n}}$ такие, что выполняются следующие два свойства

(1) Для объектов ${ displaystyle T_ {i} in operatorname {Ob} ({ mathcal {T}} _ {i})}$ у нас есть ${ displaystyle operatorname {Hom} (T_ {i}, T_ {j}) = 0}$ за ${ displaystyle i> j}$

(2) Подкатегории ${ Displaystyle { mathcal {T}} _ {я}}$ генерировать ${ displaystyle { mathcal {T}}}$, то есть каждый объект ${ displaystyle T in operatorname {Ob} ({ mathcal {T}})}$ можно разложить на последовательность ${ displaystyle T_ {i} in operatorname {Ob} ({ mathcal {T}})}$,

${ displaystyle 0 = T_ {n} to T_ {n-1} to cdots to T_ {1} to T_ {0} = T}$

такой, что ${ displaystyle operatorname {Cone} (T_ {i} to T_ {i-1}) in operatorname {Ob} ({ mathcal {T}} _ {i})}$. Обратите внимание, что это аналогично фильтрации объекта в абелевой категории, так что коядра живут в определенной подкатегории.

Мы можем немного специализироваться на этом, рассмотрев исключительные коллекции объектов, которые генерируют свои собственные подкатегории. Объект ${ displaystyle E}$ в триангулированной категории называется исключительный если выполняется следующее свойство

${ displaystyle operatorname {Hom} (E, E [+ ell]) = { begin {case} k & { text {if}} ell = 0 0 & { text {if}} ell neq 0 end {case}}}$

где ${ displaystyle k}$ является основным полем векторного пространства морфизмов. Коллекция исключительных предметов ${ displaystyle E_ {1}, ldots, E_ {r}}$ является исключительная коллекция длины ${ displaystyle r}$ если для любого ${ displaystyle i> j}$ и любой ${ displaystyle ell}$, у нас есть

${ displaystyle operatorname {Hom} (E_ {i}, E_ {j} [+ ell]) = 0}$

и является сильная исключительная коллекция если кроме того, для любого ${ displaystyle ell neq 0}$ и любой ${ displaystyle i, j}$, у нас есть

${ displaystyle operatorname {Hom} (E_ {i}, E_ {j} [+ ell]) = 0}$

Затем мы можем разложить нашу триангулированную категорию на семиотогональное разложение

${ Displaystyle { mathcal {T}} = langle { mathcal {T}} ', E_ {1}, ldots, E_ {r} rangle}$

где ${ Displaystyle { mathcal {T}} '= langle E_ {1}, ldots, E_ {r} rangle ^ { perp}}$, подкатегория объектов в ${ displaystyle E in operatorname {Ob} ({ mathcal {T}})}$ такой, что ${ displaystyle operatorname {Hom} (E, E_ {i} [+ ell]) = 0}$. Если вдобавок ${ Displaystyle { mathcal {T}} '= 0}$ то сильный исключительный набор называется полный.

Теорема Бейлинсона

Бейлинсон представил первый пример полноценной исключительной коллекции. В производной категории ${ displaystyle D ^ {b} ( mathbb {P} ^ {n})}$ линейные пакеты ${ displaystyle { mathcal {O}} (- n), { mathcal {O}} (- n + 1), ldots, { mathcal {O}} (1), { mathcal {O}} }$ сформировать полную сильную исключительную коллекцию.^[2] Он доказывает теорему в двух частях. Во-первых, эти объекты представляют собой исключительную коллекцию, а во-вторых, показаны диагональные ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { Delta}}$ из ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {n} times mathbb {P} ^ {n}}$ имеет разрешение, композиции которого являются тензорами отката исключительных объектов.

Техническая лемма

Исключительная коллекция пучков ${ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, ldots, E_ {r}}$ на ${ displaystyle X}$ заполнено, если существует разрешение

${ displaystyle 0 to p_ {1} ^ {*} E_ {1} otimes p_ {2} ^ {*} F_ {1} to cdots to p_ {1} ^ {*} E_ {n} otimes p_ {2} ^ {*} F_ {n} to { mathcal {O}} _ { Delta} to 0}$

в ${ Displaystyle D ^ {Ь} (Х раз X)}$ где ${ displaystyle F_ {i}}$ - произвольные когерентные пучки на ${ displaystyle X}$.

Теорема восстановления Орлова

Если ${ displaystyle X}$ является гладким проективным многообразием с обильным (анти-) каноническим пучком, и существует эквивалентность производных категорий ${ Displaystyle F: D ^ {b} (X) к D ^ {b} (Y)}$, то существует изоморфизм основных многообразий.^[3]

Эскиз доказательства

Доказательство начинается с анализа двух индуцированных функторов Серра на ${ displaystyle D ^ {b} (Y)}$ и найти между ними изморфизм. В частности, он показывает, что есть объект ${ Displaystyle omega _ {Y} = F ( omega _ {X})}$ который действует как дуализирующий пучок на ${ displaystyle Y}$. Изоморфизм между этими двумя функторами дает изоморфизм множества базовых точек производных категорий. Тогда нужно проверить изморфизм ${ Displaystyle F ( omega _ {X} ^ { otimes k}) cong omega _ {Y} ^ { otimes k}}$, для любого ${ Displaystyle к в mathbb {N}}$, задающий изоморфизм канонических колец

${ Displaystyle A (X) = bigoplus _ {к = 0} ^ { infty} H ^ {0} (X, omega _ {X} ^ { otimes k}) cong bigoplus _ {k = 0} ^ { infty} H ^ {0} (Y, omega _ {Y} ^ { otimes k})}$

Если ${ displaystyle omega _ {Y}}$ можно показать, что они (анти) обильные, тогда проекция этих колец даст изоморфизм ${ Displaystyle от X до Y}$. Все подробности содержатся в записках Долгачева.

Провал реконструкции

Эта теорема неверна в случае ${ displaystyle X}$ Калаби-Яу, так как ${ Displaystyle omega _ {X} cong { mathcal {O}} _ {X}}$, или является продуктом разновидности, которая Калаби-Яу. Абелевы разновидности представляют собой класс примеров, в которых теорема восстановления может никогда держать. Если ${ displaystyle X}$ является абелевой разновидностью и ${ displaystyle { hat {X}}}$ это двойное, Преобразование Фурье – Мукаи с ядром ${ displaystyle { mathcal {P}}}$, расслоение Пуанкаре,^[4] дает эквивалентность

${ displaystyle FM _ { mathcal {P}}: D ^ {b} (X) to D ^ {b} ({ hat {X}})}$

производных категорий. Поскольку абелево многообразие, как правило, не изоморфно своему двойственному, существуют производные эквивалентные производные категории без изоморфных основных многообразий.^[5] Есть альтернативная теория тензорная триангулированная геометрия где мы рассматриваем не только триангулированную категорию, но и моноидальную структуру, т.е. тензорное произведение. Эта геометрия имеет полную теорему восстановления с использованием спектра категорий.^[6]

Эквивалентности на K3 поверхностях

K3 поверхности - еще один класс примеров, когда реконструкция не удается из-за их свойства Калаби-Яу. Существует критерий для определения того, являются ли две поверхности K3 производными эквивалентными: производная категория поверхности K3 ${ displaystyle D ^ {b} (X)}$ выводится эквивалентным другому K3 ${ displaystyle D ^ {b} (Y)}$ тогда и только тогда, когда существует изометрия Ходжа ${ displaystyle H ^ {2} (X, mathbb {Z}) to H ^ {2} (Y, mathbb {Z})}$, то есть изоморфизм Структура Ходжа.^[3] Более того, эта теорема отражается и в мире мотивов, где мотивы Чжоу изоморфны тогда и только тогда, когда существует изометрия структур Ходжа.^[7]

Автоэквивалентности

Одним из хороших приложений доказательства этой теоремы является идентификация автоэквивалентностей производной категории гладкого проективного многообразия с обильным (анти-) каноническим пучком. Это дается

${ displaystyle operatorname {Auteq} (D ^ {b} (X)) cong ( operatorname {Pic} (X) rtimes operatorname {Aut} (X)) times mathbb {Z}}$

Где автоэквивалентность ${ displaystyle F}$ задается автоморфизмом ${ displaystyle f: X to X}$, затем тенсор линейным пучком ${ Displaystyle { mathcal {L}} in operatorname {Pic} (X)}$ и наконец составили со сдвигом. Обратите внимание, что ${ displaystyle operatorname {Aut} (X)}$ действует на ${ displaystyle operatorname {Pic} (X)}$ через карту поляризации, ${ displaystyle g mapsto g ^ {*} (L) otimes L ^ {- 1}}$.^[8]

Связь с мотивами

Ограниченная производная категория ${ displaystyle D ^ {b} (X)}$ широко использовался в SGA6 для построения теории пересечений с ${ Displaystyle К (Х)}$ и ${ Displaystyle Gr _ { gamma} К (Х) otimes mathbb {Q}}$. Поскольку эти объекты тесно связаны с Кольцо для чау-чау из ${ displaystyle X}$, его мотив чау Орлов задал следующий вопрос: если задан вполне точный функтор

${ Displaystyle F: D ^ {b} (X) к D ^ {b} (Y)}$

есть ли индуцированная карта по мотивам чау

${ Displaystyle f: от M (X) до M (Y)}$

такой, что ${ Displaystyle M (X)}$ это слагаемое ${ Displaystyle M (Y)}$?^[9] В случае поверхностей K3 аналогичный результат был подтвержден, поскольку производные эквивалентные поверхности K3 имеют изометрию структур Ходжа, которая дает изоморфизм мотивов.

Производная категория особенностей

На гладком многообразии существует эквивалентность производной категории ${ displaystyle D ^ {b} (X)}$ и толстый^[10][11] полная триангуляция ${ displaystyle D _ { operatorname {perf}} (X)}$ идеальных комплексов. За отделенный, Нётерян схемы конечных Измерение Крулля (называется ELF состояние)^[12] это не так, и Орлов пользуется этим фактом, определяя производную категорию особенностей. Для схемы ELF ${ displaystyle X}$ его производная категория особенностей определяется как

${ displaystyle D_ {sg} (X): = D ^ {b} (X) / D _ { text {perf}} (X)}$^[13]

для подходящего определения локализация триангулированных категорий.

Построение локализации

Хотя локализация категорий определена для класса морфизмов ${ displaystyle Sigma}$ в категории, замкнутой относительно композиции, мы можем построить такой класс из триангулированной подкатегории. Учитывая полную триангулированную подкатегорию ${ Displaystyle { mathcal {N}} subset { mathcal {T}}}$ класс морфизмов ${ Displaystyle Sigma ({ mathcal {N}})}$, ${ displaystyle s}$ в ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ где ${ displaystyle s}$ вписывается в выдающийся треугольник

${ displaystyle X { xrightarrow {s}} от Y до N до X [+1]}$

с ${ displaystyle X, Y in { mathcal {T}}}$ и ${ displaystyle N in { mathcal {N}}}$. Можно проверить, что это образует мультипликативную систему, используя аксиому октаэдра для выделенных треугольников. Данный

${ displaystyle X { xrightarrow {s}} Y { xrightarrow {s '}} Z}$

с выделенными треугольниками

${ displaystyle X { xrightarrow {s}} от Y до N до X [+1]}$

${ displaystyle Y { xrightarrow {s '}} Z to N' to Y [+1]}$

где ${ displaystyle N, N ' in { mathcal {N}}}$, то выделяются треугольники

${ Displaystyle от X к Z к M к X [+1]}$

${ displaystyle N to M to N ' to N [+1]}$ где ${ displaystyle M in { mathcal {N}}}$ поскольку ${ Displaystyle { mathcal {N}}}$ закрывается под расширениями. Эта новая категория имеет следующие свойства

• Он канонически триангулирован, где треугольник в ${ Displaystyle { mathcal {T}} / { mathcal {N}}}$ выделяется, если он изоморфен образу треугольника в ${ displaystyle { mathcal {T}}}$
• Категория ${ Displaystyle { mathcal {T}} / { mathcal {N}}}$ обладает следующим универсальным свойством: любой точный функтор ${ Displaystyle F: { mathcal {T}} to { mathcal {T}} '}$ где ${ Displaystyle F (N) cong 0}$ где ${ displaystyle N in { mathcal {N}}}$, то он однозначно факторизуется через фактор-функтор ${ Displaystyle Q: { mathcal {T}} to { mathcal {T}} / { mathcal {N}}}$, значит существует морфизм ${ displaystyle { tilde {F}}: { mathcal {T}} / { mathcal {N}} to { mathcal {T}} '}$ такой, что ${ displaystyle { tilde {F}} circ Q simeq F}$.

Свойства категории сингулярности

• Если ${ displaystyle X}$ является регулярной схемой, то всякий ограниченный комплекс когерентных пучков совершенен. Следовательно, категория особенностей тривиальна.
• Любая связная связка ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ который имеет поддержку от ${ displaystyle operatorname {Sing} (X)}$ идеально. Следовательно, нетривиальные когерентные пучки в ${ displaystyle D_ {sg} (X)}$ иметь поддержку на ${ displaystyle operatorname {Sing} (X)}$.
• В частности, объекты в ${ displaystyle D_ {sg} (X)}$ изоморфны ${ Displaystyle { mathcal {F}} [+ к]}$ для какой-то связной связки ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$.

Модели Ландау – Гинзбурга.

Концевич предложил модель для моделей Ландау – Гинзбурга, которая была разработана до следующего определения:^[14] а Модель Ландау – Гинзбурга. это гладкий сорт ${ displaystyle X}$ вместе с морфизмом ${ displaystyle W: X to mathbb {A} ^ {1}}$ который плоский. Есть три связанных категории, которые можно использовать для анализа D-бран в модели Ландау – Гинзбурга с использованием матричных факторизаций из коммутативной алгебры.

Связанные категории

Согласно этому определению, есть три категории, которые могут быть связаны с любой точкой. ${ displaystyle w_ {0} in mathbb {A} ^ {1}}$, а ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2}$-ценовая категория ${ displaystyle DG_ {w_ {0}} (W)}$, точная категория ${ displaystyle operatorname {Pair} _ {w_ {0}} (W)}$, и триангулированная категория ${ displaystyle DB_ {w_ {0}} (W)}$, каждый из которых имеет объекты

${ displaystyle { overline {P}} = (p_ {1}: P_ {1} to P_ {0}, p_ {0}: P_ {0} to P_ {1})}$ где ${ displaystyle p_ {0} circ p_ {1}, p_ {1} circ p_ {0}}$ умножаются на ${ displaystyle W-w_ {0}}$.

Также есть функтор сдвига ${ displaystyle [+1]}$ Отправить ${ displaystyle { overline {P}}}$ к

${ displaystyle { overline {P}} [+ 1] = (- p_ {0}: P_ {0} to P_ {1}, - p_ {1}: P_ {1} to P_ {0}) }$.

Разница между этими категориями заключается в их определении морфизмов. Самый общий из которых ${ displaystyle DG_ {w_ {0}} (W)}$ чьи морфизмы являются ${ Displaystyle mathbb {Z} / 2}$-градуированный комплекс

${ displaystyle operatorname {Hom} ({ overline {P}}, { overline {Q}}) = bigoplus _ {i, j} operatorname {Hom} (P_ {i}, Q_ {j}) }$

где оценка дается ${ Displaystyle (я-J) { bmod {2}}}$ и дифференциал, действующий по степени ${ displaystyle d}$ однородные элементы

${ Displaystyle Df = q circ f - (- 1) ^ {d} f circ p}$

В ${ displaystyle operatorname {Pair} _ {w_ {0}} (W)}$ морфизмы - это степень ${ displaystyle 0}$ морфизмы в ${ displaystyle DG_ {w_ {0}} (W)}$. В заключение, ${ displaystyle DB_ {w_ {0}} (W)}$ имеет морфизмы в ${ displaystyle operatorname {Pair} _ {w_ {0}} (W)}$ по модулю нулевых гомотопий. Более того, ${ displaystyle DB_ {w_ {0}} (W)}$ может быть наделен триангулированной структурой с помощью ступенчатой ​​конструкции конуса в ${ displaystyle operatorname {Pair} _ {w_ {0}} (W)}$. Данный ${ displaystyle { overline {f}}: { overline {P}} to { overline {Q}}}$ есть код отображения ${ displaystyle C (f)}$ с картами

${ displaystyle c_ {1}: Q_ {1} oplus P_ {0} to Q_ {0} oplus P_ {1}}$ где ${ displaystyle c_ {1} = { begin {bmatrix} q_ {0} & f_ {1} 0 & -p_ {1} end {bmatrix}}}$

и

${ displaystyle c_ {0}: Q_ {0} oplus P_ {1} to Q_ {1} oplus P_ {0}}$ где ${ displaystyle { displaystyle c_ {0} = { begin {bmatrix} q_ {1} & f_ {0} 0 & -p_ {0} end {bmatrix}}}}$

Тогда диаграмма ${ displaystyle { overline {P}} to { overline {Q}} to { overline {R}} to { overline {P}} [+ 1]}$ в ${ displaystyle DB_ {w_ {0}} (W)}$ выделенный треугольник, если он изоморфен конусу из ${ displaystyle operatorname {Pair} _ {w_ {0}} (W)}$.

Категория D-бран

Используя конструкцию ${ displaystyle DB_ {w_ {0}} (W)}$ мы можем определить категорию D-бран типа B на ${ displaystyle X}$ с суперпотенциалом ${ displaystyle W}$ как категория продукта

${ displaystyle DB (W) = prod _ {w in mathbb {A} _ {1}} DB_ {w_ {0}} (W).}$

Это связано с категорией сингулярности следующим образом: если задан суперпотенциал ${ displaystyle W}$ с изолированными особенностями только при ${ displaystyle 0}$, обозначим ${ Displaystyle X_ {0} = W ^ {- 1} (0)}$. Тогда существует точная эквивалентность категорий

${ Displaystyle DB_ {w_ {0}} (W) cong D_ {sg} (X_ {0})}$

заданный функтором, индуцированным из функтора коядра ${ displaystyle operatorname {Cok}}$ отправка пары ${ displaystyle { overline {P}} mapsto operatorname {Coker} (p_ {1})}$. В частности, поскольку ${ displaystyle X}$ регулярно, Теорема Бертини показывает ${ Displaystyle DB (W)}$ является лишь конечным продуктом категорий.

Вычислительные инструменты

Периодичность Кнёррера

Есть преобразование Фурье-Мукаи ${ displaystyle Phi _ {Z}}$ на производных категориях двух родственных разновидностей, дающих эквивалентность их категорий особенности. Эта эквивалентность называется Периодичность Кнёррера. Его можно построить следующим образом: учитывая плоский морфизм ${ displaystyle f: X to mathbb {A} ^ {1}}$ из выделенной регулярной нётеровой схемы конечной размерности Крулля существует ассоциированная схема ${ Displaystyle Y = X раз mathbb {A} ^ {2}}$ и морфизм ${ displaystyle g: Y to mathbb {A} ^ {1}}$ такой, что ${ displaystyle g = f + xy}$ где ${ displaystyle xy}$ координаты ${ displaystyle mathbb {A} ^ {2}}$-фактор. Рассмотрим волокна ${ Displaystyle X_ {0} = е ^ {- 1} (0)}$, ${ Displaystyle Y_ {0} = г ^ {- 1} (0)}$, а индуцированный морфизм ${ displaystyle x: Y_ {0} to mathbb {A} ^ {1}}$. И волокно ${ Displaystyle Z = х ^ {- 1} (0)}$. Затем идет укол ${ displaystyle i: от Z до Y_ {0}}$ и проекция ${ displaystyle q: Z to X_ {0}}$ формирование ${ displaystyle mathbb {A} ^ {1}}$-пучок. Преобразование Фурье-Мукаи

${ Displaystyle Phi _ {Z} ( cdot) = mathbf {R} я _ {*} д ^ {*} ( cdot)}$

индуцирует эквивалентность категорий

${ Displaystyle D_ {sg} (X_ {0}) to D_ {sg} (Y_ {0})}$

называется Периодичность Кнёррера. Есть еще одна форма этой периодичности, когда ${ displaystyle xy}$ заменяется полиномом ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$.^[15][16] Эти теоремы периодичности являются основными вычислительными методами, поскольку они позволяют сократить анализ категорий особенностей.

Расчеты

Если взять модель Ландау – Гинзбурга ${ Displaystyle ( mathbb {C} ^ {2k + 1}, W)}$ где ${ displaystyle W = z_ {0} ^ {n} + z_ {1} ^ {2} + cdots + z_ {2k} ^ {2}}$, то единственный слой особого слоя ${ displaystyle W}$ это происхождение. Тогда категория D-бран модели Ландау – Гинзбурга эквивалентна категории особенности ${ displaystyle D _ { text {sing}} ( operatorname {Spec} ( mathbb {C} [z] / (z ^ {n})))}$. Над алгеброй ${ Displaystyle А = mathbb {C} [z] / (z ^ {n})}$ есть неразложимые объекты

${ displaystyle V_ {i} = operatorname {Coker} (A { xrightarrow {z ^ {i}}} A) = A / z ^ {i}}$

чьи морфизмы можно полностью понять. Для любой пары ${ displaystyle i, j}$ есть морфизмы ${ displaystyle alpha _ {j} ^ {i}: V_ {i} to V_ {j}}$ где

• за ${ displaystyle i geq j}$ это естественные проекции
• за ${ displaystyle i$ это умножение на ${ displaystyle z ^ {j-i}}$

где любой другой морфизм представляет собой композицию и линейную комбинацию этих морфизмов. Есть много других случаев, которые можно вычислить явно, используя таблицу особенностей, найденную в оригинальной статье Кнёррера.^[16]

Смотрите также

• Производная категория
• Триангулированная категория
• Идеальный комплекс
• Полуортогональное разложение
• Преобразование Фурье – Мукаи
• Условие устойчивости Бриджеланда
• Гомологическая зеркальная симметрия
• Примечания к производным категориям - http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/deved9.pdf

использованная литература