Диффеология - Diffeology

В математика, а диффеология на наборе объявляет, какие гладкие параметризации в наборе. В некотором смысле диффеология обобщает понятие гладких карт в дифференцируемое многообразие.

Концепция была впервые представлена Жан-Мари Сурьо в 1980-х годах и были разработаны его учениками Пол Донато (однородные пространства и покрытия) и Патрик Иглесиас (пучки диффеологических волокон, высшая гомотопия и т. д.), позже другими людьми. Родственная идея была представлена Го-Цай Чен (陳 國 才, Чэнь Гоцай) в 1970-е годы, используя выпуклые множества вместо открытых для областей построения графиков.

Определение

Если Икс это набор, диффеология на Икс набор карт, называемый участки, от открытые подмножества из рп (п ≥ 0) до Икс такое, что выполняется следующее:

  • Каждая постоянная карта - это сюжет.
  • Для данной карты, если каждая точка в домене имеет окрестности так что ограничение карты этим районом является сюжетом, тогда сама карта является сюжетом.
  • Если п это сюжет, и ж это гладкая функция из открытого подмножества некоторого реального векторного пространства в область п, то композиция п ∘ ж это сюжет.

Обратите внимание, что области разных графиков могут быть подмножествами рп для разных значений п.

Множество вместе с диффеологией называется диффеологическое пространство.

Карта между диффеологическими пространствами называется дифференцируемый тогда и только тогда, когда составляя его с каждым участком первого пространства, он является участком второго пространства. Это диффеоморфизм если он дифференцируемый, биективный, и это обратный также дифференцируема.

Диффеологические пространства вместе с дифференцируемыми отображениями как морфизмы, сформировать категория. Изоморфизмы в этой категории - это диффеоморфизмы, определенные выше. В категория диффеологических пространств замкнута относительно многих категориальных операций.

Диффеологическое пространство имеет D-топология: самый лучший топология так что все сюжеты непрерывный.

Если Y это подмножество диффеологического пространства Икс, тогда Y сам по себе является диффеологическим пространством естественным образом: сюжеты Y эти сюжеты Икс чьи изображения являются подмножествами Y.

Если Икс - диффеологическое пространство, а ~ - некоторое отношение эквивалентности на Икс, то набор частных X / ~ имеет диффеологию, порожденную всеми композициями графиков Икс с проекцией от Икс к Икс/ ~. Это называется факторная диффеология. В факторная D-топология является D-топологией фактор-диффеологии, и что эта топология может быть тривиальной без тривиальности диффеологии.

Исчисление Картана де Рама может быть развито в рамках диффеологии, а также расслоений, гомотопий и т. Д.

Гладкие коллекторы

Дифференцируемые многообразия также обобщают плавность. Обычно они определяются как топологические многообразия с атласом, карты переходов которого гладкие, который используется для восстановления дифференциальной структуры.

Каждое определенное таким образом гладкое многообразие имеет естественную диффеологию, графики которой соответствуют гладким отображениям из открытых подмножеств рп к коллектору. С этой диффеологией отображение между двумя гладкими многообразиями является гладким тогда и только тогда, когда оно дифференцируемо в диффеологическом смысле. Следовательно, гладкие многообразия с гладкими отображениями образуют полную подкатегорию диффеологических пространств.

Это позволяет дать альтернативное определение гладкого многообразия, которое не ссылается на отображения переходов или конкретный атлас: гладкое многообразие - это диффеологическое пространство, которое локально диффеоморфно рп.

Связь между гладкими многообразиями и диффеологическими пространствами аналогична связи между топологическими многообразиями и топологическими пространствами.

Этот метод моделирование диффеологические пространства могут быть расширены на другие модели локальных жителей, например: орбифолды, смоделированные на факторпространствах рп/ Γ, где Γ - конечная линейная подгруппа, или многообразия с краем и углами, моделируемые на Ортанты, так далее.

Примеры

  • Любые открыто подмножество конечномерного действительного и, следовательно, сложного векторного пространства является диффеологическим пространством.
  • Любое гладкое многообразие - диффеологическое пространство.
  • Любой фактор диффеологического пространства является диффеологическим пространством. Это простой способ построения немногообразных диффеологий. Например, набор действительные числа р - гладкое многообразие. Частное р/(Z + αZ), для некоторых иррациональный α, является иррациональный тор, диффеологическое пространство, диффеоморфное фактору регулярного 2-тора р2/Z2 по линии наклон α. У него нетривиальная диффеология, но его D-топология - это тривиальная топология.

внешние ссылки