Личность Диксона - Википедия - Dixons identity

В математика, Личность Диксона (или же Теорема Диксона или же Формула Диксона) является одним из нескольких различных, но тесно связанных тождеств, доказанных А. К. Диксон, некоторые из которых включают конечные суммы произведений трех биномиальные коэффициенты, а некоторые оценивают гипергеометрическая сумма. Эти идентичности, как известно, вытекают из Теорема Мак-Магона Мастер, и теперь его можно регулярно доказывать с помощью компьютерных алгоритмов (Эхад 1990 ).

Заявления

Оригинальная личность, от (Диксон 1891 ), является

${ displaystyle sum _ {k = -a} ^ {a} (- 1) ^ {k} {2a choose k + a} ^ {3} = { frac {(3a)!} {(a! ) ^ {3}}}.}$

Обобщение, также иногда называемое тождеством Диксона,

${ displaystyle sum _ {k in mathbb {Z}} (- 1) ^ {k} {a + b select a + k} {b + c choose b + k} {c + a choose c + k} = { frac {(a + b + c)!} {a! b! c!}}}$

куда а, б, и c неотрицательные целые числа (Уилф 1994, п. 156). Сумма слева может быть записана как завершающий хорошо уравновешенный гипергеометрический ряд

${ displaystyle {b + c choose b-a} {c + a choose c-a} {} _ {3} F_ {2} (- 2a, -a-b, -a-c; 1 + b-a, 1 + c-a; 1)}$

и тождество следует как предельный случай (как а стремится к целому числу) теоремы Диксона об оценке хорошо уравновешенного ₃F₂ обобщенный гипергеометрический ряд в 1, из (Диксон 1902 ):

${ displaystyle ; _ {3} F_ {2} (a, b, c; 1 + ab, 1 + ac; 1) = { frac { Gamma (1 + a / 2) Gamma (1 + a / 2-bc) Gamma (1 + ab) Gamma (1 + ac)} { Gamma (1 + a) Gamma (1 + abc) Gamma (1 + a / 2-b) Gamma (1 + a / 2-c)}}.}$

Это верно для Re (1 +¹⁄₂а − б − c)> 0. При c стремится к −∞, сводится к Формула Куммера для гипергеометрической функции ₂F₁ при −1. Теорема Диксона может быть выведена из оценки Интеграл Сельберга.

q-аналоги

А q-аналог формулы Диксона для базовый гипергеометрический ряд с точки зрения символ q-Pochhammer дан кем-то

${ displaystyle ; _ {4} phi _ {3} left [{ begin {matrix} a & -qa ^ {1/2} & b & c & - a ^ {1/2} & aq / b & aq / c end {matrix}}; q, qa ^ {1/2} / bc right] = { frac {(aq, aq / bc, qa ^ {1/2} / b, qa ^ {1/2} / c; q) _ { infty}} {(aq / b, aq / c, qa ^ {1/2}, qa ^ {1/2} / bc; q) _ { infty}}}}$

где |qa^1/2/до н.э| < 1.

Рекомендации

• Диксон, А. (1891), «О сумме кубиков коэффициентов в некотором разложении по биномиальной теореме», Посланник математики, 20: 79–80, JFM  22.0258.01
• Диксон, А. (1902), «Суммирование определенного ряда», Proc. Лондонская математика. Soc., 35 (1): 284–291, Дои:10.1112 / плмс / с1-35.1.284, JFM  34.0490.02
• Эхад, Шалош Б. (1990), «Очень короткое доказательство теоремы Диксона», Журнал комбинаторной теории, серия А, 54 (1): 141–142, Дои:10.1016 / 0097-3165 (90) 90014-Н, ISSN  1096-0899, МИСТЕР  1051787, Zbl  0707.05007
• Гессель Ира; Стэнтон, Деннис (1985), "Краткие доказательства теорем Заальшютца и Диксона", Журнал комбинаторной теории, серия А, 38 (1): 87–90, Дои:10.1016/0097-3165(85)90026-3, ISSN  1096-0899, МИСТЕР  0773560, Zbl  0559.05008
• Уорд, Джеймс (1991), «100 лет личности Диксон», Бюллетень Ирландского математического общества (27): 46–54, ISSN  0791-5578, МИСТЕР  1185413, Zbl  0795.01009
• Уилф, Герберт С. (1994), Генерацияфункционологии (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN  0-12-751956-4, Zbl  0831.05001