Интеграл Сельберга - Selberg integral

В математике Интеграл Сельберга является обобщением Бета-функция Эйлера к п размеры введены Атле Сельберг  (1944 ).

Интегральная формула Сельберга

${displaystyle {egin {align} S_ {n} (альфа, эта, гамма) & = int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} prod _ {i = 1} ^ {n} t_ {i} ^ {alpha -1} (1-t_ {i}) ^ {eta -1} prod _ {1leq i$

Из формулы Сельберга следует Личность Диксона для хорошо сбалансированных гипергеометрических рядов и некоторых частных случаев Гипотеза Дайсона.

Интегральная формула Аомото

Аомото (1987) доказал чуть более общую интегральную формулу:

${displaystyle int _ {0} ^ {1} cdots int _ {0} ^ {1} left (prod _ {i = 1} ^ {k} t_ {i} ight) prod _ {i = 1} ^ {n } t_ {i} ^ {alpha -1} (1-t_ {i}) ^ {eta -1} prod _ {1leq i$

${displaystyle = S_ {n} (alpha, eta, gamma) prod _ {j = 1} ^ {k} {frac {alpha + (nj) gamma} {alpha + eta + (2n-j-1) gamma}} .}$

Интеграл Мехты

Интеграл Мехты равен

${displaystyle {frac {1} {(2pi) ^ {n / 2}}} int _ {- infty} ^ {infty} cdots int _ {- infty} ^ {infty} prod _ {i = 1} ^ {n } e ^ {- t_ {i} ^ {2} / 2} prod _ {1leq i$

Это статистическая сумма для газа точечных зарядов, движущихся по линии, притягиваемой к началу координат (Мехта 2004 ). Его значение можно вывести из интеграла Сельберга, и оно равно

${displaystyle prod _ {j = 1} ^ {n} {frac {Gamma (1 + jgamma)} {Gamma (1 + gamma)}}.}.$

Это было предположено Мехта и Дайсон (1963), которые не знали о более ранних работах Сельберга.

Интеграл Макдональда

Макдональд (1982) предположил следующее распространение интеграла Мехты на все конечные системы корней, исходный случай Мехты, соответствующий А_п−1 корневая система.

${displaystyle {frac {1} {(2pi) ^ {n / 2}}} int cdots int left | prod _ {r} {frac {2 (x, r)} {(r, r)}} ight | ^ {gamma} e ^ {- (x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2}) / 2} dx_ {1} cdots dx_ {n} = prod _ {j = 1} ^ { n} {frac {Gamma (1 + d_ {j} gamma)} {Gamma (1 + gamma)}}}$

Изделие над корнями р системы корней и чисел d_j - степени образующих кольца инвариантов группы отражений. Опдам (1989) дал единообразное доказательство для всех кристаллографических групп отражений. Спустя несколько лет он доказал это в полной общности (Опдам (1993) ), используя компьютерные расчеты Гарвана.

Рекомендации

• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции, Энциклопедия математики и ее приложений, 71, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-62321-6, МИСТЕР  1688958 (Глава 8)
• Аомото, К. (1987), "О комплексном интеграле Сельберга", Ежеквартальный журнал математики, 38 (4): 385–399, Дои:10.1093 / qmath / 38.4.385
• Форрестер, Питер Дж .; Варнаар, С. Оле (2008), «Важность интеграла Сельберга», Бык. Амер. Математика. Soc., 45 (4): 489–534, arXiv:0710.3981, Дои:10.1090 / S0273-0979-08-01221-4
• Макдональд, И. Г. (1982), "Некоторые гипотезы для корневых систем", Журнал SIAM по математическому анализу, 13 (6): 988–1007, Дои:10.1137/0513070, ISSN  0036-1410, МИСТЕР  0674768
• Мехта, Мадан Лал (2004), Случайные матрицы, Чистая и прикладная математика (Амстердам), 142 (3-е изд.), Elsevier / Academic Press, Амстердам, ISBN  978-0-12-088409-4, МИСТЕР  2129906
• Мехта, Мадан Лал; Дайсон, Фримен Дж. (1963), "Статистическая теория уровней энергии сложных систем. V", Журнал математической физики, 4 (5): 713–719, Bibcode:1963JMP ..... 4..713M, Дои:10.1063/1.1704009, ISSN  0022-2488, МИСТЕР  0151232
• Опдам, Э.М. (1989), «Некоторые приложения операторов гипергеометрического сдвига», Изобретать. Математика., 98 (1): 275–282, Bibcode:1989InMat..98 .... 1O, Дои:10.1007 / BF01388841, МИСТЕР  1010152
• Опдам, Э.М. (1993), «Операторы Данкла, функции Бесселя и дискриминант конечной группы Кокстера», Compositio Mathematica, 85 (3): 333–373, МИСТЕР  1214452, Zbl  0778.33009
• Сельберг, Атле (1944), "Замечания о кратном интеграле", Norsk Mat. Tidsskr., 26: 71–78, МИСТЕР  0018287