Метод Дорманда – Принса - Dormand–Prince method

В числовой анализ, то Дорман – Принс (РКДП) метод или же ДОПРИ метод, явный метод решения обыкновенные дифференциальные уравнения (Дорман и принц 1980 ). Метод является членом Рунге-Кутта семейство решателей ODE. В частности, он использует шесть оценок функций для вычисления решений четвертого и пятого порядков. Тогда разность между этими решениями принимается за ошибку решения (четвертого порядка). Эта оценка ошибки очень удобна для алгоритмов интеграции с адаптивным размером шага. Другие похожие методы интеграции: Fehlberg (РКФ) и Кэш – Карп (RKCK).

Метод Дорманда – Принса состоит из семи этапов, но он использует только шесть вычислений функций на шаг, потому что он имеет свойство FSAL (First Same As Last): последний этап оценивается в той же точке, что и первый этап следующего шага. Дорманд и Принс выбрали коэффициенты своего метода, чтобы минимизировать ошибку решения пятого порядка. В этом основное отличие от метода Фельберга, который был построен таким образом, что решение четвертого порядка имеет небольшую ошибку. По этой причине метод Дорманда-Принса более подходит, когда для продолжения интеграции используется решение более высокого порядка, практика, известная как локальная экстраполяция (Шампин 1986; Hairer, Nørsett & Wanner 2008 г. С. 178–179).

Дорманд – Принс в настоящее время является методом по умолчанию в ode45 решатель для MATLAB и GNU Octave и является выбором по умолчанию для Simulink Решатель проводника моделей. Это вариант в Scipy Библиотека интеграции ODE.[1]Фортран,[2] Ява, [3] и C ++[4]также доступны реализации.

В Таблица мясника является:

0
1/51/5
3/103/409/40
4/544/45−56/1532/9
8/919372/6561−25360/218764448/6561−212/729
19017/3168−355/3346732/524749/176−5103/18656
135/3840500/1113125/192−2187/678411/84
35/3840500/1113125/192−2187/678411/840
5179/5760007571/16695393/640−92097/339200187/21001/40

Первый ряд б Коэффициенты дают решение пятого порядка точности, а вторая строка дает альтернативное решение, которое при вычитании из первого решения дает оценку ошибки.

Примечания

  1. ^ https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.ode.html
  2. ^ http://www.unige.ch/~hairer/prog/nonstiff/dopri5.f
  3. ^ https://commons.apache.org/proper/commons-math/javadocs/api-3.0/org/apache/commons/math3/ode/nonstiff/DormandPrince853Integrator.html
  4. ^ https://www.boost.org/doc/libs/1_53_0/libs/numeric/odeint/doc/html/boost/numeric/odeint/ Grunge_kutta_dopri5.html

Рекомендации

  • Реализация программного обеспечения в MATLAB: https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html
  • Реализация в GNU Octave: https://octave.org/doc/interpreter/Matlab_002dcompatible-solvers.html#Matlab_002dcompatible-solvers
  • Реализация в Python (язык программирования)  : https://web.archive.org/web/20150907215914/http://adorio-research.org/wordpress/?p=6565
  • Dormand, J. R .; Принс, П. Дж. (1980), "Семейство вложенных формул Рунге-Кутты", Журнал вычислительной и прикладной математики, 6 (1): 19–26, Дои:10.1016 / 0771-050X (80) 90013-3.
  • Дорманд, Джон Р. (1996), Численные методы для дифференциальных уравнений: вычислительный подход, Бока-Ратон: CRC Press, стр. 82–84, ISBN  0-8493-9433-3.
  • Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (2008), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: нежесткие задачи, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-56670-0.
  • Шампин, Лоуренс Ф. (1986), "Некоторые практические формулы Рунге-Кутты", Математика вычислений, Американское математическое общество, 46 (173): 135–150, Дои:10.2307/2008219, JSTOR  2008219.

дальнейшее чтение

  • Энгстлер К. и Любич К. (1997). MUR8: многоскоростное расширение метода Дорманда-Принса восьмого порядка. Прикладная вычислительная математика, 25 (2-3), 185-192.
  • Кальво, М., Монтижано, Дж. И., и Рандес, Л. (1990). Интерполянт пятого порядка для метода Дорманда и принца Рунге-Кутты. Журнал вычислительной и прикладной математики, 29(1), 91-100.
  • Аристофф, Дж. М., Хорвуд, Дж. Т., и Пур, А. Б. (2014). Орбита и распространение неопределенности: сравнение подходов на основе Гаусса – Лежандра, Дорманда – Принса и Чебышева – Пикара. Небесная механика и динамическая астрономия, 118 (1), 13-28.
  • Видно, В. М., Гобитасан, Р. У. и Миура, К. Т. (2014, июль). Ускорение на GPU Рунге Кутта-Фельберга и его сравнение с методом Дорманда-Принса. В материалах конференции AIP (Vol. 1605, No. 1, pp. 16-21). AIP.