Метод Рунге – Кутты – Фельберга. - Runge–Kutta–Fehlberg method

В математика, то Метод Рунге – Кутты – Фельберга. (или же Метод Фельберга) является алгоритм в числовой анализ для численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Его разработал немецкий математик. Эрвин Фельберг и основан на большом классе Методы Рунге – Кутты.

Новизна метода Фельберга в том, что это встроенный метод.^{[необходимо определение ]} от Семья Рунге-Кутта, что означает, что идентичные оценки функций используются вместе друг с другом для создания методов разного порядка и аналогичных констант ошибок. Метод, представленный в статье Фельберга 1969 года, получил название RKF45 метод, и является методом порядка O (час⁴) с оценкой погрешности порядка O (час⁵).^[1] Выполнив одно дополнительное вычисление, можно оценить ошибку решения и управлять ею с помощью встроенного метода более высокого порядка, который позволяет адаптивный шаг будет определено автоматически.

Таблица Мясника для метода 4 (5) Фельберга

Любой Метод Рунге – Кутты однозначно идентифицируется своим Таблица мясника. Вложенная пара, предложенная Фельбергом^[2]

	0
	1/4	1/4
	3/8	3/32	9/32
	12/13	1932/2197	−7200/2197	7296/2197
	1	439/216	−8	3680/513	−845/4104
	1/2	−8/27	2	−3544/2565	1859/4104	−11/40
		16/135	0	6656/12825	28561/56430	−9/50	2/55
		25/216	0	1408/2565	2197/4104	−1/5	0

Первая строка коэффициентов в нижней части таблицы дает метод пятого порядка точности, а вторая строка дает метод четвертого порядка точности.

Реализация алгоритма RK4 (5)

Коэффициенты, найденные Фельбергом для Формулы 1 (вывод с его параметром α2 = 1/3), приведены в приведенной ниже таблице с использованием индексации массива по основанию 1 вместо базы 0 для совместимости с большинством компьютерных языков:

КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЛЯ RK4 (5), ФОРМУЛА 1 Таблица II в Fehlberg^[2]

K	А (К)	B (K, L)					С (К)	CH (K)	CT (K)
		L = 1	L = 2	L = 3	L = 4	L = 5
1	0						1/9	47/450	-1/150
2	2/9	2/9					0	0	0
3	1/3	1/12	1/4				2/20	12/25	3/100
4	3/4	69/128	-243/128	135/64			16/45	32/225	-16/75
5	1	-17/12	27/4	-27/5	16/15		1/12	1/30	-1/20
6	5/6	65/432	-5/16	13/16	4/27	5/144		6/25	6/25

Fehlberg^[2] намечает решение для решения системы п дифференциальные уравнения вида:

${displaystyle {operatorname {d}! y_ {i} over operatorname {d}! x} = f_ {i} (x, y_ {1}, y_ {2}, ..., y_ {n}), i = 1,2, ..., y_ {n}}$

итеративно решить для

${displaystyle y_ {i} (x + h), i = 1,2, ..., n}$

куда час является адаптивный шаг подлежит определению алгоритмически:

Решение - это средневзвешенное шести приращений, где каждое приращение является произведением размера интервала, ${extstyle h}$, и предполагаемый наклон, заданный функцией ж в правой части дифференциального уравнения.

${displaystyle k_ {1} = hcdot f (x + A (1) cdot h, y)}$

${displaystyle k_ {2} = hcdot f (x + A (2) cdot h, y + B (2,1) cdot k_ {1})}$

${displaystyle k_ {3} = hcdot f (x + A (3) cdot h, y + B (3,1) cdot k_ {1} + B (3,2) cdot k_ {2})}$

${displaystyle k_ {4} = hcdot f (x + A (4) cdot h, y + B (4,1) cdot k_ {1} + B (4,2) cdot k_ {2} + B (4,3 ) cdot k_ {3})}$

${displaystyle k_ {5} = hcdot f (x + A (5) cdot h, y + B (5,1) cdot k_ {1} + B (5,2) cdot k_ {2} + B (5,3 ) cdot k_ {3} + B (5,4) cdot k_ {4})}$

${displaystyle k_ {6} = hcdot f (x + A (6) cdot h, y + B (6,1) cdot k_ {1} + B (6,2) cdot k_ {2} + B (6,3 ) cdot k_ {3} + B (6,4) cdot k_ {4} + B (6,5) cdot k_ {5})}$

Тогда средневзвешенное значение:

${displaystyle y (x + h) = y (x) + CH (1) cdot k_ {1} + CH (2) cdot k_ {2} + CH (3) cdot k_ {3} + CH (4) cdot k_ {4} + CH (5) cdot k_ {5} + CH (6) cdot k_ {6}}$

Оценка ошибки усечения:

${displaystyle TE = | CT (1) cdot k_ {1} + CT (2) cdot k_ {2} + CT (3) cdot k_ {3} + CT (4) cdot k_ {4} + CT (5) cdot k_ {5} + CT (6) cdot k_ {6} |}$

По завершении шага рассчитывается новый размер шага:

${displaystyle h_ {new} = 0,9cdot hcdot left ({frac {epsilon} {| TE |}} ight) ^ {1/5}}$

Если ${extstyle | TE |> эпсилон}$, затем замените ${extstyle h}$ с ${extstyle h_ {новое}}$ и повторите шаг. Если ${extstyle | TE | leqslant epsilon}$, то шаг завершен. Заменять ${extstyle h}$ с ${extstyle h_ {новое}}$ для следующего шага.

Коэффициенты, найденные Фельбергом для Формулы 2 (вывод с его параметром α2 = 3/8), приведены в приведенной ниже таблице с использованием индексации массива по базе 1 вместо базы 0 для совместимости с большинством компьютерных языков:

КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЛЯ RK4 (5), ФОРМУЛА 2 Таблица III в Фельберге^[2]

K	А (К)	B (K, L)					С (К)	CH (K)	CT (K)
		L = 1	L = 2	L = 3	L = 4	L = 5
1	0						25/216	16/135	1/360
2	1/4	1/4					0	0	0
3	3/8	3/32	9/32				1408/2565	6656/12825	-128/4275
4	12/13	1932/2197	-7200/2197	7296/2197			2197/4104	28561/56430	-2187/75240
5	1	439/216	-8	3680/513	-845/4104		-1/5	-9/50	1/50
6	1/2	-8/27	2	-3544/2565	1859/4104	-11/40		2/55	2/55

В другом столе в Фельберге^[2], приведены коэффициенты для RKF4 (5), выведенные Д. Сарафяном:

КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЛЯ Сарафяна RK4 (5), Таблица IV в Фельберге^[2]

K	А (К)	B (K, L)					С (К)	CH (K)	CT (K)
		L = 1	L = 2	L = 3	L = 4	L = 5
1	0	0					1/6	1/24	-1/8
2	1/2	1/2					0	0	0
3	1/2	1/4	1/4				2/3	0	-2/3
4	1	0	-1	2			1/6	5/48	-1/16
5	2/3	7/27	10/27	0	1/27			27/56	27/56
6	1/5	28/625	-1/5	546/625	54/625	-378/625		125/336	125/336

Смотрите также

• Список методов Рунге – Кутты
• Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
• Методы Рунге – Кутты

Примечания

Рекомендации

• Бесплатно программное обеспечение реализация в GNU Octave: http://octave.sourceforge.net/odepkg/function/ode45.html
• Эрвин Фельберг (1969). Классические формулы Рунге-Кутты низкого порядка с контролем размера шага и их применение к некоторым задачам теплопередачи . Технический отчет НАСА 315. https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19690021375/downloads/19690021375.pdf
• Эрвин Фельберг (1968) Классические формулы Рунге-Джутты пятого, шестого, седьмого и восьмого порядков с контролем размера шага. Технический отчет НАСА 287. https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19680027281/downloads/19680027281.pdf
• Эрвин Фельберг (1970) Некоторые экспериментальные результаты, касающиеся распространения ошибок в формулах интегрирования типа Рунге-Кутта. Технический отчет НАСА R-352. https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19700031412/downloads/19700031412.pdf
• Эрвин Фельберг (1970). "Klassische Runge-Kutta-Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle und ihre Anwendung auf Wärmeleitungsprobleme," Вычислительная техника (Arch. Elektron. Rechnen), т. 6. С. 61–71. Дои:10.1007 / BF02241732
• Эрнст Хайрер, Сиверт Нёрсетт и Герхард Ваннер (1993). Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: нежесткие задачи, второе издание, Springer-Verlag, Берлин. ISBN  3-540-56670-8.
• Диран Сарафян (1966) Оценка погрешности методов Рунге-Кутты с помощью псевдо-итерационных формул. Технический отчет № 14, Государственный университет Луизианы в Новом Орлеане, май 1966 г.

дальнейшее чтение

• Симос, Т. Э. (1993). Метод Рунге-Кутта-Фельберга с запаздыванием по фазе бесконечного порядка для начальных задач с осциллирующим решением. Компьютеры и математика с приложениями, 25 (6), 95-101.
• Хандапангода, К. К., Премаратне, М., Йео, Л. и Френд, Дж. (2008). Метод Лагерра Рунге-Кутта-Фельберга для моделирования распространения лазерного импульса в биологической ткани. IEEE Журнал избранных тем в квантовой электронике, 14 (1), 105-112.
• Пол, С., Мондал, С. П., и Бхаттачарья, П. (2016). Численное решение модели хищника-жертвы Lotka Volterra с использованием метода Рунге – Кутты – Фельберга и метода разложения адомиана Лапласа. Александрийский инженерный журнал, 55 (1), 613-617.
• Филиз, А. (2014). Численное решение линейного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра методом Рунге-Кутта-Фельберга. Прикладная и вычислительная математика, 3 (1), 9-14.
• Симос, Т. Э. (1995). Модифицированные методы Рунге-Кутты-Фельберга для периодических начальных задач. Японский журнал промышленной и прикладной математики, 12 (1), 109.
• Сарафян, Д. (1994) Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем с помощью дискретных и непрерывных вложенных формул Рунге-Кутты и повышение их порядка, Компьютеры Math. Applic. Vol. 28, No. 10-12, pp. 353-384, 1994. https://core.ac.uk/download/pdf/82540775.pdf